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高考数学大一轮复习 3.4导数的综合应用试题 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP免费

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第4讲导数的综合应用一、填空题1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________.解析 y=-x3+81x-234,∴y′=-x2+81(x>0).令y′=0得x=9,令y′<0得x>9,令y′>0得01,即m<-.答案3.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥,则p是q的________条件.解析 f(x)=x3+2x2+mx+1,∴f′(x)=3x2+4x+m.由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立,则Δ≤0,即16-12m≤0,解得m≥.故为充分必要条件.答案充分必要4.若函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为________.解析令g(x)=f(x)-2x-4,则g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)在R上递增.又g(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0.∴g(x)>0⇒x>-1.答案(-1,+∞)5.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是________.解析结合二次函数图象知,当a>0或a<-1时,在x=a处取得极小值,当-10,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.设g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4.当x<0,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.g(x)在区间[-1,0)上单调递增,∴g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.答案4二、解答题11.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm).由已知得a=x,h==(30-x),0<x<30.(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800.所以当x=15cm时,S取得最大值.(2)V...

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