第3讲平面向量的数量积及应用一、选择题1．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－解析：选B.因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，所以3＋m＝××cos，所以m＝.2．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|＝()A．3B．2C．D.解析：选D.(a－3b)2＝|a|2－6a·b＋9|b|2＝1－6cos60°＋9＝7，所以|a－3b|＝，故选D.3．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为()A．－B．－C．D.解析：选A.依题意得e1·e2＝1×1×cos＝－，|a|＝＝＝，a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a方向上的投影为＝＝－，故选A.4．(2018·郑州质量预测)在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，BE＝2EC，点F在边CD上．若AB·AF＝3，则AE·BF的值为()A．0B.C．－4D．4解析：选C.BE＝2EC⇒|BE|＝|BC|＝.设AB与AF的夹角为α，AB·AF＝3⇒|AF|cosα＝1⇒|DF|＝1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此BF＝(，－2)，AE·BF＝×－2×3＝2－6＝－4，故选C.5．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，若BQ·CP＝－，则λ＝()A．B.C．2D．3解析：选A.因为BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，又BQ·CP＝－，|AB|＝|AC|＝2，〈AB，AC〉＝60°，AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝2，所以[(1－λ)AC－AB]·(λAB－AC)＝－，即λ|AB|2＋(λ2－λ－1)AB·AC＋(1－λ)|AC|2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.6.如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则PM·PN等于()1A．13B．7C．5D．3解析：选C.连接AP，BP，则PM＝PA＋AM，PN＝PB＋BN＝PB－AM，所以PM·PN＝(PA＋AM)·(PB－AM)＝PA·PB－PA·AM＋AM·PB－|AM|2＝－PA·AM＋AM·PB－|AM|2＝AM·AB－|AM|2＝1×6－1＝5.二、填空题7．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝________．解析：由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－.答案：－8．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．解析：因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，所以由(m＋n)⊥(m－n)得(m＋n)·(m－n)＝0，即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3，则m＝(－2，1)，n＝(－1，2)，所以cos〈m，n〉＝＝.答案：9．(2018·石家庄质量检测(一))已知AB与AC的夹角为90°，|AB|＝2，|AC|＝1，AM＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，且AM·BC＝0，则的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以AB＝(0，2)，AC＝(1，0)，BC＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM＝(x，y)，所以AM·BC＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM＝λAB＋μAC，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案：10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AM·AN的最大值为________．解析：由平面向量的数量积的几何意义知，AM·AN等于|AM|与AN在AM方向上的投影之积，所以(AM·AN)max＝AM·AC＝·(AB＋AD)＝AB2＋AD2＋AB·AD＝9.答案：9三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；2(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，所以cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，所以θ＝π.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.(3)因为AB与BC的夹角θ＝π，所以∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，所以S△ABC＝|AB||BC|·sin∠ABC＝×4×3×＝3.12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长．(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．解：(1)由题设知AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，则AB＋AC＝(2，6)，AB－AC＝(4，4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线的长分别为4，2.(2)由题设知：OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t，5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得：(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.或者：AB·OC＝tOC2，AB＝(3，5)，t＝＝－.3
