第1课时椭圆及简单几何性质[A级基础巩固]1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A．4B．3C．2D．5解析：由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，所以|PF2|＝6，所以|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.答案：A2．(2020·南昌三中期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：因为△AF1B的周长为4，且△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a，所以4a＝4，所以a＝，因为离心率为，所以＝，解得c＝1，所以b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.答案：A3．(2020·青岛十六中周考)若曲线＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是()A．k>1B．k<－1C．－1b>0)，可得：＋＝1，a2－b2＝5，解得a＝，b＝，故所求的椭圆方程为＋＝1.答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由离心率e＝可得a2＝5c2，所以b2＝4c2，故椭圆的方程为＋＝1，将P(－5，4)代入可得c2＝9，故椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝17．如图所示，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．解析：由题意知|F1F2|＝2，因为|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4，在△F1PF2中，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3.答案：38．(2020·雅礼中学质检)已知点P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2＝120°，且|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率为________．解析：点P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，因为∠F1PF2＝120°，且|PF1|＝3|PF2|，如图所示，设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，则可得4c2＝13×，解得e＝＝.答案：9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.10．(2020·青岛二中月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝.(1)求椭圆的标准方程；2(2)若P是椭圆上的任意一点，求PF1·PA的取值范围．解：(1)由题意，因为|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝，所以c＝1，a＝2，所以b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，A(－2，0)，F1(－1，0)，所以PF1·PA＝(－1－x0)(－2－x0)＋y＝x＋3x0＋2＋y，因为P点在椭圆上，所以＋＝1，y＝3－x，所以PF1·PA＝x＋3x0＋5，由椭圆方程得－2≤x0≤2，二次函数x＋3x0＋5的开口向上，对称轴x0＝－6<－2，当x0＝－2时，取最小值0，当x0＝2时，取最大值12.所以PF1·PA的取值范围是[0，12]．[B级能力提升]11．(2020·菏泽市期末)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为()A.B.C.D.解析：设|BF1|＝k(k>0)，则|AF1...
