同步检测训练一、选择题1．方程x2＋y2＝1(xy<0)的曲线形状是()答案：C解析：方程x2+y2=1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．故选C.2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案：B解析：设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π.故选B.3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线答案：C解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9①又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，www.k@s@5@u.com高#考#资#源#网即，②代入①式整理可得x2＋＝1.故选C.4．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线答案：A解析：设C(x，y)，由已知得(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，∴，又λ1＋λ2＝1.消去λ1，λ2得，x＋2y＝5.故选A.5．(2008·成都质检)F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：A解析：如右图所示，延长F2P到N使|NP|=|F2P|，则|MF2|=|MN|.∴|NF1|=2a，即|PO|=a.故选A.6．(2008·潍坊模拟)一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案：A.解析： 折痕所在的直线是AQ的垂直平分线，∴|PA|＝|PQ|，又 |PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r>|OQ|，由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆．故选A.7．(2009·郑州市二测)设向量i、j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a用心爱心专心1＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，且|a|－|b|＝1，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是()A.－＝1(y≥0)B.－＝1(x≥0)C.－＝1(y≥0)D.－＝1(x≥0)答案：B解析：依题意，向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，又|a|－|b|＝1，所以－＝1，整理得－＝1(x≥0)，选择B.8．(2009·江西联考)过点P(1,1)作一直线与抛物线y＝x2交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线y＝x2的切线，设两切线的交点为M，则点M的轨迹方程为()A．y＝x2B．x2＋y2＝1C．x2－y2＝1D．x－y－1＝0答案：D解析：设过点P(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入抛物线方程y＝x2并整理得，x2－2kx＋2k－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－2；又y′＝x，所以过A、B两点的切线斜率分别为k1＝x1，k2＝x2，过A、B两点的切线方程分别为y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，设M的坐标为(x，y)，所以点M的坐标满足，消去参数k得x－y－1＝0，选择D.二、填空题9．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)解法一：直接法，设A(x，y)，y≠0，则D(，)，∴|CD|＝＝3，化简得：(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点构成三角形，www.k@s@5@u.com高#考#资#源#网所以A不能落在x轴上，即y≠0.解法二：定义法．如右图所示，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E， |CD|=3，∴|AE|=6，则E(10,0)∴A到E的距离为常数6，∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x-10)2+y2=36，又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0，故A点轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0)．10．平面上有三点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．答案：y2＝8x解析：AB＝(2，－)，BC＝(x，)． AB⊥BC，∴AB·BC＝0，得2·x－·＝0，得y2＝8x.11．已知△ABC的边AB长为6，点C到A、B两点的距离之比为2∶1，则点C的轨迹方程为________．答案：(x－5)2＋y2＝16(y≠0)解析：以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，则A(-3,0)，B(3,0)．...
