课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线斜率是()A．2B．－2C．1D．－1解析：y′＝cosx＋ex，故当x＝0时，切线斜率k＝y′|x＝0＝2.答案：A2．(2017·河南郑州质检)函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0解析：f(0)＝e0cos0＝1，因为f′(x)＝excosx－exsinx，所以f′(0)＝1，所以切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0，故选C.答案：C3．(2017·河南质检)已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝f(x)，则tan2x的值是()A．－B．－C.D.解析：因为f′(x)＝cosx＋sinx＝sinx－cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝＝＝，故选D.答案：D4．直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋lnx相切，则b的值为()A．－2B．1C．－D．－1解析：由y＝－x＋lnx得y′＝－＋.由y′＝－＋＝，得x＝1，把x＝1代入曲线方程y＝－x＋lnx得y＝－，所以切点坐标为，代入直线方程y＝x＋b，得b＝－1.答案：D5．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线．令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()1A．－1B．0C．2D．4解析：由图象可知，f(3)＝1，又点(3,1)在直线l上，∴3k＋2＝1，从而k＝－. 直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f′(3)＝k＝－. g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0.答案：B6．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解析：设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cosx，显然k1·k2＝cosx1·cosx2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x>0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex>0，显然k1·k2＝ex1·ex2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A.答案：A二、填空题7．曲线y＝2lnx＋1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：对函数y＝2lnx＋1求导为y′＝，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝2，故曲线y＝2lnx＋1在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝08．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.解析：y′＝αxα－1，y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，由该切线过原点，得α＝2.答案：29．曲线y＝ln2x上的点到直线y＝2x的距离的最小值是________．解析：对y＝ln2x求导得y′＝，令＝2，得x＝，y＝ln＝0，即与直线y＝2x平行的曲线y＝ln2x的切线的切点坐标是，曲线y＝ln2x上任意一点到直线y＝2x的距离的最小值是点到直线y＝2x的距离，即＝.答案：10．(2016·新课标全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，解得x1＝，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln22三、解答题11．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又 点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2) 直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－. l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.12．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－lnx)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．...
