考点33直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.(2015·浙江高考文科·T7)如图,斜线段AB与平面α所成的角为60°,B为斜足,平面α上的动点P满足∠PAB=30°,则点P的轨迹是()A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支【解题指南】依据线面的位置关系与圆锥曲线的定义判断.【解析】选C.由题可知,当P点运动时,在空间中满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.二、解答题2．（2015·四川高考文科·T18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（II）判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论（III）证明：平面【解题指南】(1)通过立体图形的展开与折叠解题（2）利用线线平行证明线面平行（3）构造等腰三角形，找出高垂直于底边这一层垂直关系；利用三角形中位线找出一组平行关系；利用平行垂直关系；利用线面垂直的判定【解析】（I）如图(1)由展开图可知，在的上方，，，如图HGFEDCAB（II）连接，如上图因为四边形和四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面所以平面，平面又因为平面，且所以平面平面（III）连接，交点坐标如下图，取中点分别为，连接KJNMHGFEDCAB因为分别为中点所以设正方体棱长为，则所以三角形为等腰三角形，所以那么又因为平面，且所以平面。3.(2015·北京高考理科·T17)(14分)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE.(2)求二面角F-AE-B的余弦值.(3)若BE⊥平面AOC,求a的值.【解题指南】(1)要证AO⊥EB,只需证明AO⊥平面EBCF.(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角余弦值.(3)将BE⊥平面AOC转化为BE⊥OC,再利用数量积为0,解出a.【解析】(1)因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,交线EF,AO⊂平面AEF,ABCEFO所以AO⊥平面EBCF.因为BE⊂平面EBCF,所以AO⊥BE.(2)取BC的中点D,连接OD.如图分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则，，，设平面ABE的法向量n1=(x,y,z),则，令得，所以。平面AEF的法向量。ABCxFOyzE所以。因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以余弦值为。（3）由（1）知。因为，所以。要使平面AOC，只需。因为，，所以，即，解得（舍）或。4.(2015·北京高考文科·T18)(14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC.(2)求证:平面MOC⊥平面VAB.(3)求三棱锥V-ABC的体积.【解题指南】(1)只需证明MO∥VB.(2)只需证明OC⊥平面VAB.(3)变换顶点,把C看作顶点,CO看作是高.【解析】(1)因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为OM⊂平面MOC,VB⊄平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)因为AC=BC,O为AB中点,所以OC⊥AB.因为平面VAB⊥平面ABC,交线AB,OC⊂平面ABC,所以OC⊥平面VAB.因为OC⊂平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)由(2)知OC为三棱锥C-VAB的高,因为AC⊥BC且AC=BC=,所以OC=1,AB=2.因为△VAB为等边三角形,所以S△VAB=×2×=.。5.(2015·广东高考理科·T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.ABCOMV(1)证明:PE⊥FG.(2)求二面角P-AD-C的正切值.(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.【解题指南】(1)可先证线面垂直,PE⊥平面ABCD,进而得到线线垂直.(2)可以找出二面角的平面角,然后再求解.(3)利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去解决.【解析】（1）证明：因为且点为的中点，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）因为是矩形，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又、平面，所以，，所以即为二面角的平面角，在中，，，，PABCDEFG所以即二面角的正切值为；（3）如下图所示，连接，因为，即，所以，所以为直线与直线所成角或其补角，在中，，，由余弦定理可得，所以直线与直线所成角的余弦值为．6.(2015·广东高考文科·T18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=...
