高考数学大一轮复习 5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

§5.2平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)在△ABC中，向量AB，BC的夹角为∠ABC.(×)(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(√)(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(×)(6)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，若a∥b，则θ等于45°.(×)1．(2014·福建改编)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是________．①e1＝(0,0)，e2＝(1,2)；②e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)；③e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；④e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)．答案②解析由题意知，①中e1＝0，③④中两向量均共线，都不符合基底条件，故②正确(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．2．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，OC＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为________．答案解析过C作CE⊥x轴于点E.由∠AOC＝，知OE＝CE＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝.3．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.答案1解析因为a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)与c＝(k，)共线，所以3k＝×，因此k＝1.4．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则向量BD的坐标为__________．答案(－3，－5)解析 AB＋BC＝AC，∴BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5).题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．答案(1)(2)解析(1)因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，所以AB＝AN－AM，所以λ＋μ＝.(2)设BP＝kBN，k∈R.因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k(AC－AB)＝(1－k)AB＋AC，且AP＝mAB＋AC，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．已知△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s的值是________．答案0解析 DB＝AB－AD，∴CD＝AB－DB－AC＝AB－CD－AC，∴CD＝AB－AC，∴CD＝AB－AC.又CD＝rAB＋sAC，∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0.题型二平面向量的坐标运算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2) mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点， CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又 CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法...