高中数学解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-３页为选择题和填空题，第４-8页为解答题及答卷。请将选择题和填空题的答案做在第４页的答卷上。全卷共三大题20小题，满分150分，考试时间120分钟。参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+(B)S＝4πR2如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V＝πR3Pn(k)＝Pk(1-P)n-k其中R表示球的半径第一部分选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.请将唯一正确的答案代号填在第４页的答题卷上1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（）.(A)(B)(C)(D)2.与终边相同的角为（）.(A)(B)(C)(D)3．已知集合，，则S与M的关系是（）.(A)(B)(C)(D)4.函数的增区间为（）.(A)(B)(C)(D)5.观察下列四个电路图，结论正确的是（）.用心爱心专心ABC②①AB③ACB④ＡＣＢ(A)图①中开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；(B)图②中开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；(C)图③中开关A闭合是灯泡B亮的充分且必要条件；(D)图④中开关A闭合是灯泡B亮的不充分又不必要条件.6.设是平面直角坐标系内轴，轴正方向上的单位向量且，则的面积等于（）.(A)15(B)10(C)7.5(D)57.与是定义在R上的可导函数.若，则与满足（）.(A)(B)是常数函数(C)(D)是常数函数.8.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积为，则的值为（）.(A)(B)(C)(D)9.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设是公比为、前ｎ项和为的无穷等比数列，下列的四组量：②；③；④中，一定能成为该数列的“基本量”的是（）.(A)①②(B)①④(C)③④(D)①②③10.已知直线及平面,其中,那么在平面内到两条直线距离相等的点的集合可能为①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（）.(A)①②③；(B)①②④；(C)①④；(D)②④．第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在第４页的答题卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有行，在这些数中非1的数字之和是_______.111121133114641……………………12．若点为（3分），此时点的坐标为（2分）.13.定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________.14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边DE将其倾斜，随着容器的倾斜用心爱心专心程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律：.（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对1个给1分,本题满分5分）三、解答题：15．（本题满分12分）已知的解集为，求实数的值.16.（本题满分13分）已知函数的图象关于直线对称，当,且时，试求的值.17.（本题满分13分）如图，直角梯形OABC中，AO⊥OC，AB∥OC，.平面OABC.以OC，OA,OS分别为轴、轴、轴建立直角坐标系O-.（Ⅰ）求异面直线SC与OB所成角；（Ⅱ）设，满足平面SBC.求：①的坐标；②OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；用心爱心专心ＰFＡＣＢEＤ(第14题图1)ＢＰＡC(第14题图2)DzＳＯyABＣx③点O到平面SBC的距离.18.（本题满分14分）设，为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若，且.（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（0，3）作直线l与曲线交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.19.（本题满分14分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.20（本题满分14分）直线与轴、轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域（包括边界）的整点个数为...
