2018年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标52抛物线理[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查．一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(C)A．－B．－1C．－D．－解析：因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF＝＝－，选C．2．拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是(C)A．B．或C．D．或解析：抛物线的方程化成标准形式为x2＝y(a≠0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为，故选C．3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(A)A．1B．2C．4D．8解析：由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．4．(2017·云南师大附中模拟)已知P为抛物线y2＝－6x上一个动点，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是(B)A．B．C．D．解析：结合抛物线定义，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即为－－＝，故选B.5．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为(D)A．5B．6C．7D．8解析：设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝xA＋1＋xB＋1＝xA＋xB＋2＝2xC＋2＝8.6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是(A)A．2±B．2＋C．±1D．－1解析：F，设P，Q(y1≠y2)．由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2±.二、填空题17．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为.解析：设点M(xM，yM)，则即x＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋＝1＋＝.8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足OB＝OA＋OF(O为坐标原点)，则△BOF的面积是1.解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，又 OB＝OA＋OF，∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1.9．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围是[1，＋∞)．解析：设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A，B外的交点即可，即是|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a>0，所以a≥1.三、解答题10．(2017·河北石家庄调研)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)，点A到抛物线C1的准线的距离为2.(1)求抛物线C1的方程；(2)过点A作圆C2：x2＋(y－a)2＝1的两条切线，分别交抛物线于M，N两点，若直线MN的斜率为－1，求实数a的值．解析：(1)由抛物线定义可得：＋＝2，∴p＝2，∴抛物线C1的方程为：x2＝4y.(2)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，将lAM：y－1＝k1(x－2)代入x2＝4y，得x2－4k1x＋8k1－4＝0，Δ＝16(k1－1)2>0，∴k1∈R且k1≠1.又点A(2,1)在抛物线上，则由韦达定理可得：xM＝4k1－2，同理xN＝4k2－2，∴kMN＝＝(xM＋xN)＝k1＋k2－1.又 直线lAM：y－1＝k1(x－2)与圆相切，∴＝1，整理可得：3k＋4k1(a－1)＋a2－2a＝0，同理可得：3k＋4k2(a－1)＋a2－2a＝0.∴k1，k2是方程3k2＋4k(a－1)＋a2－2a＝0的两个实数根，∴k1＋k2＝－代入kMN＝k1＋k2－1＝－1可得a＝1.11．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．2解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 点P(1,2)在抛物...
