高中数学 考点43 直线与圆锥曲线的位置关系（含高考试题）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点43直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ8）为坐标原点，为抛物线：的焦点，为C上一点，若，则△POF的面积为（）A.B.C.D.【解题指南】由抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离求解.【解析】选C.设，则，解得，因为为C上一点，则，得，所以.2.（2013·江西高考文科·Ｔ9）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A.2:B.1:2C.1:D.1:3【解题指南】由抛物线的定义把转化为点M到准线的距离，再结合直线的斜率，借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA的倾斜角为，因为F（0,1），A（2,0），所以直线FA的斜率为，即，过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得，在中,可得，即|FM|：|MN|=.3.（2013·重庆高考文科·Ｔ10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线和的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线和关于轴对称,又所成的角为,所以直线方程为或,又因为有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，所以渐近线斜率满足,解得.故选A.4.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ10）已知椭圆的右焦点，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的方程为（）A.B.C.D.【解题指南】本题中给出的中点坐标，所以在解题时先设出，两点坐标，然后采用点差法求解.【解析】选D.由椭圆得，，因为过点的直线与椭圆交于，两点，设，,则，则①②由①-②得，化简得.，又直线的斜率为，即.因为，所以，解得，.故椭圆方程为.二、解答题5.（2013·安徽高考理科·Ｔ18）设椭圆的焦点在轴上（Ⅰ）若椭圆的焦距为1，求椭圆的方程；（Ⅱ）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线上。【解析】(1)因为焦距为1，所以，解得，从而椭圆E的方程为.（2）设，其中，由题设知，则直线的斜率，直线的斜率，，故直线的方程为,当x=0时，，即点Q坐标为，因此直线的斜率。由于，所以化简得①将①代入椭圆E的方程，由于点在第一象限，解得，即点P在定直线x+y=1上。6.（2013·天津高考文科·Ｔ18）与（2013·天津高考理科·Ｔ18）相同设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.【解题指南】(Ⅰ)由离心率及过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a，b的值，写出椭圆方程.(Ⅱ)写出过点F且斜率为k的直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示求解.【解析】(Ⅰ)设由知过点F且与x轴垂直的直线为代入椭圆方程有解得于是解得又，从而，所以椭圆方程为.(Ⅱ)设，由得直线CD的方程为由方程组消去y，整理得可得因为所以由已知得，解得7.（2013·北京高考文科·Ｔ19）直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W:+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点。（1）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形。【解题指南】(1)把线段OB的垂直平分线方程与椭圆方程联立,求出点A,C的坐标,再求AC的长.(2)用反证法.假设OABC为菱形,则只需证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数,从而与已知矛盾.【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，因此A、C点的坐标为，于是AC的长为。（2）只需证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆与椭圆的交点。，，点与C点的横坐标互为相反数或相等，此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是菱形。8.（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·Ｔ20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为（1）求M的方程（2）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值【解题指南】（1）涉及到弦AB的中点问题，考虑点差法，建...