第31讲数列求和课时达标一、选择题1．(2019·张掖月考)数列的前2019项的和为()A.＋1B.－1C.＋1D.－1B解析通过已知条件得到＝－，裂项累加得S2019＝－＋－＋…＋－1＝－1，故选B.2．数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋a1＋n，则＋＋…＋＝()A.B.C.D.D解析由题意知an＋1－an＝n＋1，所以an－an－1＝n，所以an＝an－an－1＋an－1－an－2＋an－2－an－3＋…＋a2－a1＋a1＝1＋2＋…＋n＝，所以＝＝2.所以＋＋…＋＝2＝2×＝.故选D.3．(2019·西安一中月考)在公差大于0的等差数列{an}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列(－1)n－1an的前21项和为()A．21B．－21C．441D．－441A解析设等差数列{an}的公差为d，d＞0，由题意可得2(a1＋6d)－(a1＋12d)＝1，a1(a1＋5d＋5)＝(a1＋2d－1)2，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1)，故数列(－1)n－1an的前21项和为1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.4．(2019·信阳一中期中)已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为()A．380－B．400－C．420－D．440－C解析令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.5．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是()A．2n＋1＋n－2B．2n＋1－n＋2C．2n－n－2D．2n＋1－n－2D解析Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n，②①－②得－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2.6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2020＝()A．22020－1B．3×21010－3C．3×21010－1D．3×22020－2B解析依题意得an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2＝2为首项，2为公比的等比数列，于是有S2020＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2019)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2020)＝＋＝3×21010－3.故选B.二、填空题7．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为________．解析因为an＝＝，所以bn＝＝8.所以b1＋b2＋…＋bn＝8＝.答案8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.解析由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案1309．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝________.解析令n＝1，得＝4，所以a1＝16.当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)．与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2.所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，a1适合an，所以an＝4(n＋1)2，所以＝4n＋4，所以＋＋…＋＝＝2n2＋6n.答案2n2＋6n三、解答题10．(2019·泰安一模)设数列{an}的前n项的和Sn＝an－×2n＋1＋(n＝1,2，…)．(1)求首项a1与通项an；(2)设Tn＝(n＝1,2，…)，证明：i＜.解析(1)由Sn＝an－×2n＋1＋，令n＝1，得a1＝a1－＋，解得a1＝2.又由Sn＝an－×2n＋1＋得Sn－1＝an－1－×2n＋，相减并整理得＋1＝2，所以是以＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝22n－2n.(2)由an＝22n－2n，得Sn＝(2n－1)(2n＋1－1)．所以Tn＝＝，于是i＝＝＜.11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2S2＋4，a5＝36.(1)求an，Sn；(2)设bn＝Sn－1(n∈N*)，Tn＝＋＋＋…＋，求Tn.解析(1)因为S3＝2S2＋4，所以a1＝d－4，又因为a5＝36，所以a1＋4d＝36，解得d＝8，a1＝4，所以an＝4＋8(n－1)＝8n－4，Sn＝＝4n2.(2)bn＝4n2－1＝(2n－1)(2n＋1)，所以＝＝.Tn＝＋＋＋…＋＝＝＝.12．(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和...
