第1讲平面向量及其线性运算1．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．52．(2014年新课标Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A.ADB.ADC.BCD.BC3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c5．如图X411所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()图X411A.FOB.OGC.OHD.EO6．设点M为平行四边形ABCD对角线的交点，点O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD＝()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM7．P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上8．(2015年新课标Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.9．(2017年湖南长沙长郡中学统测)如图X412，在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．图X41210．向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线．其中所有正确结论的序号为__________．11．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1－3e2，CD＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．12．如图X413，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，求数对(x，y)的值．图X413第1讲平面向量及其线性运算1．B解析：由MA＋MB＋MC＝0可知，点M为△ABC的重心，故AM＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)．所以AB＋AC＝3AM，即m＝3.2．A解析：设AB＝a，AC＝b，则EB＝－b＋a，FC＝－a＋b，从而EB＋FC＝＋＝(a＋b)＝AD.故选A.3．B解析：因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA.所以点P在线段AB的反向延长线上．故选B.4．A解析：∵BD＝2DC，∴AD－AB＝2(AC－AD)．∴3AD＝2AC＋AB.∴AD＝AC＋AB＝b＋c.5．A解析：如图D108，以OP，OQ为邻边作平行四边形，OP＋OQ＝OA＝FO.图D1086．D解析：如图D109，∵点M为AC，BD的中点，∴OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM.∴OA＋OB＋OC＋OD＝4OM.图D1097．B解析：∵CB＝PB－PC，CB＝λPA＋PB，∴PB－PC＝λPA＋PB.∴－PC＝λPA.∴PC∥PA，即PC与PA共线．∴点P一定在AC边所在直线上．故选B.8.解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)．则所以λ＝.9.解析：由AN＝NC，知N是AC的三等分点．∵AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，即m＝.10．④解析：由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．11．(1)证明：∵AB＝e1－e2，BC＝3e1＋2e2，CD＝－8e1－2e2，∴AC＝AB＋BC＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－CD.∴AC与CD共线．∵AC与CD有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)解：AC＝AB＋BC＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.∵A，C，D三点共线，∴AC与CD共线．从而存在实数λ使得AC＝λCD，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．∴解得.12．解：方法一，令BF＝λBE，由题意知，AF＝AB＋BF＝AB＋λBE＝AB＋λ＝(1－λ)AB＋λAC.同理，令CF＝μCD，则AF＝AC＋CF＝AC＋μCD＝AC＋μ＝μAB＋(1－μ)AC.∴解得∴AF＝AB＋AC.故为所求．方法二，设CF＝λCD，∵E，D分别为AC，AB的中点，∴BE＝BA＋AE＝－a＋b，BF＝BC＋CF＝(b－a)＋λ＝a＋(1－λ)b.∵BE与BF共线，a，b不共线，∴＝.∴λ＝.∴AF＝AC＋CF＝b＋CD＝b＋＝a＋b.故x＝，y＝.则即为所求．
