高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算学业分层测评 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足()A．b＝acB．b2＝acC．a＝b＝cD．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sinAsinC＝0，即sin2B＝sinAsinC，∴b2＝ac.【答案】B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为()A.B.C.D.【解析】∵S△ABC＝bcsinA＝×1×c×sin60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos60°＝1＋16－2×1×4×＝13，∴a＝.【答案】D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.B．1C．2D.【解析】S△ABC＝acsinB＝c＝2，∴c＝4.b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－8×＝25，∴b＝5，∴R＝＝＝.【答案】D4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.【解析】在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即7＝AB2＋4－2×2×AB×.整理得AB2－2AB－3＝0，解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.故BC边上的高AD＝AB·sinB＝3×sin60°＝.【答案】B5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶71C．5∶4∶3D．6∶5∶4【解析】由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，所以3b＝20acosA＝20(b＋1)·＝20(b＋1)·，整理得7b2－27b－40＝0，解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.结合正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC＝6∶5∶4.【答案】D二、填空题6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为_____．【解析】画出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3，∴AD＝.【答案】7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为________．【解析】由bcsinA＝220得c＝55，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝2401，所以a＝49.【答案】498．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，则△ABC的面积为________.【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝a2＋25－2×5×acos120°，整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)，∴S△ABC＝acsinB＝×3×5sin120°＝.【答案】三、解答题9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.【证明】由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.由正弦定理得，所以2＋2＝52，即a2＋b2＝5c2.10．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．【解】(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝·sin60°＝2.[能力提升]21．已知锐角△ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为，则AB·AC的值为()A．2B．－2C．4D．－4【解析】由题意S△ABC＝|AB||AC|sinA＝，得sinA＝，又△ABC为锐角三角形，∴cosA＝，∴AB·AC＝|AB||AC|cosA＝2.【答案】A2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝()A.B.C.D.【解析】由正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinC·sinBcosA＝sinB，又因为sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，所以sin(A＋C)＝sinB＝.因为a>b，所以B＝.【答案】A3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．【解析】在△ABC中，由cosA＝－可得sinA＝，所以有解得【答案】84．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行．(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．【解】(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝.由于00，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.法二：由正弦定理，得＝，从而sinB＝.又由a>b，知A>B，所以cosB＝.故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为absinC＝.3