3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念课时跟踪检测一、选择题1．(2019·宜春月考)已知质点的运动方程为s＝t2＋t，则其在第2秒的瞬时速度为()A．3B．4C．5D．6解析：由题可得lim＝lim＝lim(5＋Δt)＝5，即质点在第2秒的瞬时速度为5，故选C.答案：C2．若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则lim()A．与x0，t都有关B．仅与x0有关，而与t无关C．仅与t有关，而与x0无关D．与x0，t都无关答案：B3．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为2，则lim等于()A．2B．1C.D．解析：由导数的定义知f′(1)＝lim＝2.故选A.答案：A4．已知曲线f(x)＝x2＋2x上一点A(2,8)，则lim＝()A．3B．－3C．6D．－6解析：lim＝lim＝lim＝－3.故选B.答案：B5．(2019·北重五中月考)设函数y＝f(x)可导，则lim＝()A．f′(1)B．3f′(1)C．－3f′(1)D．以上都不对解析：由导数的定义可知，f′(1)＝lim，故选A.答案：A6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定解析：由题意得k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，由于Δx可正可负，∴k1，k2的大小关系不确定．答案：D二、填空题7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段1[t0，t1][t1，t2][t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为____________．解析：由平均速度的定义结合图象知1<2<3.答案：3>2>18．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．解析：①＝＝1；②＝＝＝2＋Δx；③＝＝＝3＋3Δx＋(Δx)2；④＝·＝·＝－.由此可知，当Δx＝0.3时，函数y＝x3的平均变化率最大．答案：③9．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋8)，则f′(0)＝________.解析：由导数的定义，得f′(0)＝lim＝lim＝lim[(x＋1)(x＋2)…(x＋8)]＝1×2×…×8＝40320.答案：40320三、解答题10．若函数f(x)＝2x2＋4x在x＝x0处的导数是8，求x0的值．解：∵f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋4(x0＋Δx)－(2x＋4x0)＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4Δx，∴f′(x0)＝lim＝lim(2Δx＋4x0＋4)＝4x0＋4.又∵f′(x0)＝8，∴4x0＋4＝8，∴x0＝1.11．求函数f(x)＝－x2＋x在x＝3附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：∵Δy＝－(3＋Δx)2＋(3＋Δx)－(－32＋3)＝－5Δx－(Δx)2，∴平均变化率为＝＝－5－Δx.f′(3)＝lim＝lim(－5－Δx)＝－5.12．用导数的定义求：(1)y＝在x＝1处的导数；(2)y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)在x＝－1处的导数．解：(1)∵Δy＝－2＝，∴＝－.由导数的定义，得y′x＝1＝lim＝lim＝－4.(2)∵Δy＝(－1＋Δx)2＋a(－1＋Δx)＋b－(1－a＋b)＝(a－2)Δx＋(Δx)2，∴＝a－2＋Δx.∴y′x＝－1＝lim＝lim(a－2＋Δx)＝a－2.13．设f(x)＝x2＋ax＋1，且f′(1)＝4，则a＝________.解析：∵f′(1)＝lim＝lim＝2＋a＝4，2∴a＝2.答案：23
