高考数学一轮复习 课后限时集训40 垂直关系 理（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训(四十)垂直关系(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C[如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．故选C.]2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥nB．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βD[若α⊥β，mα，nβ，则m与n可能平行，故A错；若α∥β，mα，nβ，则m与n可能平行，也可能异面，故B错；若m⊥n，mα，nβ则α与β可能相交，也可能平行，故C错；对于D项，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D项正确．]3．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图， A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误； A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1) A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．故选C.]4．(2019·长春质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A．1B．C.D．D[如图所示：连接A1D，AD1交于点O，连接OC1，在正方体中， AB⊥平面AD1，∴AB⊥A1D．又A1D⊥AD1，且AD1∩AB＝A，∴A1D⊥平面AD1C1B，又OC1平面AD1C1B，∴A1D⊥OC1，所以∠A1C1O即为所求角，在Rt△A1C1O中，sin∠A1C1O＝，所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，故选D．]5.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.]二、填空题6．如图所示，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．AB，BC，ACAB[ PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC. AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB．]7．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)[连接AC，BD，则AC⊥BD， PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD．而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]8．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．40π[如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，∴SA2＝80，SA＝4. SA与底面所成的角为45°，∴∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4×＝2.∴底面周长l＝2π·AS′＝4π，∴圆锥的侧面积为×4×4π＝40π.]三、解答题9．(2018·江苏高考)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.[证明](1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因...