【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习阶段回扣练（三）导数及其应用习题理新人教A版一、填空题1.(2015·哈师大附中检测)设函数f(x)＝axlnx(a∈R，a≠0)，若f′(e)＝2，则f(e)的值为________.解析f′(x)＝alnx＋a，故f′(e)＝2a＝2，得a＝1，故f(x)＝xlnx，f(e)＝e.答案e2.(2015·扬州模拟)曲线y＝x2＋lnx在点(1，1)处的切线方程为________.解析y′＝2x＋，故y′|x＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，化简整理得3x－y－2＝0.答案3x－y－2＝03.若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.解析由f′(x)＝＝＝0，∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.答案34.三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________.解析f′(x)＝3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，①x＝0时，－1≤0恒成立，即m∈R；②x≠0时，有m≤在R上恒成立， ＞0，∴m≤0，又m＝0时，f(x)＝－x不是三次函数，不满足题意.综上m<0.答案(－∞，0)5.(2015·南通、扬州、泰州、宿迁四市调研)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________.解析由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数可得a＝0.设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x＋bx0＝3x0－4，又f′(x)＝3x2＋b，所以f′(x0)＝3x＋b＝3，联立解得x0＝，b＝－3.答案－36.(2014·无锡模拟)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________.解析 y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则y′，y的变化情况如下表；x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)1y′＋0－0＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.答案－2或27.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0，1]上的最小值为________.解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x＝或－(舍去).当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g′(x)－0＋g(x)0极小值0所以当x＝时，g(x)有最小值g＝－.答案－8.(2015·石家庄模拟)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________.解析2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4].答案(－∞，4]9.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.解析设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0
0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝02有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝lnx＋1上任一点(x0，1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，结合图象知00时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.解析因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).答案(－∞，－1)∪(0，1)12.已知函数f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.x－1045f(x)1221下列关于函数f(x)的命题：①函数y＝f(x)在[0，2]上是减函数；②如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2...
