高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 导数在实际生活中的应用互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP免费

高中数学第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用互动课堂苏教版选修2-2疏导引导本课时的重点和难点是用导数解决实际问题.1.导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、路程最短等问题一般都可以归结为函数的最值问题,从而可利用导数来研究.(1)导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值,其关键是分清各量间的关系,建立目标函数,在判断函数极值的基础上就可以确定出函数的最值情况.(2)能利用导数求解有关实际问题的最值,学会将实际问题转化为数学问题的方法.(3)通过本单元的学习,学会如何建模,如何利用导数求最值,以提高分析和解决问题的能力.(4)通过本节课的学习,体会数学来源于生活,应用于实践,提高学习数学的兴趣.2.解应用题，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题.就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；其次,利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论;最后再把数学结论返回到实际问题中去.其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系.(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解.(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案.3.用导数解决优化问题主要指函数类型中求最值的问题，其思路是：4.实际应用问题利用导数求f(x)在(a,b)上的最值时,f′(x)=0在(a,b)的解只有一个,由题意最值确实存在,则使f′(x)=0的解就是最值点.案例1(2005全国高考Ⅲ)用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如下图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【探究】设容器高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).求V(x)的导数，得1V′(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).令V′(x)=0，得x1=10,x2=36(舍去).当0＜x＜10时，V′(x)＞0，那么V(x)为增函数；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，那么V(x)为减函数.因此,在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).所以当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.【规律总结】本题主要考查函数的概念，运用导数求函数最值的方法，以及运用数学知识建立简单数学模型并解决实际问题的能力.实际应用问题要根据题目的条件，写出相应关系式，是解决此类问题的关键.案例2有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【探究】根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置.解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，如图所示，设C点距D点xkm，则 BD=40，AC=50-x，∴BC=，又设总水管费用为y元，依题意有y=3a(50-x)+(0＜x＜50).y′=-3a+.令y′=0，得=3a(a≠0).解得x=30.在(0，50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时，AC=50-x=20(km).∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD=θ，如图所示，则BC=，CD=40cotθ().∴AC=50-CD=50-40cotθ2设总的水管费用为f(θ),依题意，有f(θ)=3a(50-40cotθ)+5a·.=150a+40a.∴f′(θ)=40a..令f′(θ)=0，得cosθ=.根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.案例3某工地备有直径为R的圆柱形木料(足够长)，若所需的是横断面为矩形的承重木梁，且已知木梁的承重强度(P)与梁宽及梁高...