高中数学第1章导数及其应用1.3.2极值点互动课堂苏教版选修2-2疏导引导1.可导函数极值的概念如图,观察图形,展示出图象在点(x1,f(x1))处的切线的变化.不难得出:曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正,得到可导函数极值的概念.疑难疏引对此概念的几点说明如下:(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义,是指在点x0及其左右邻域都有意义.(2)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻域而言的.(3)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(4)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1)(5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f′(x)=0.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小.假设x0使f′(x)=0，那么x0在什么情况下是极值点呢？如上图所示，若x0是f(x)的极大值点，则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x0)＞0.x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x0)＜0，同理，如下图所示，若x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f′(x0)＜0，在x0的右侧附近f(x)只能是增函数，即f′(x0)＞0，从而我们得出结论：若x0满足f′(x0)=0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x0)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x0)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.12.求可导函数y=f(x)极值的步骤：(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化.由上面介绍的方法确定函数是否取得极值，以及极值是什么.活学巧用1.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.解析：f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，令f′(x)=0，解得x1=-1，x2=3.∴x＜-1时，f′(x)＞0,函数f(x)递增；-1＜x＜3时，f′(x)＜0,函数f(x)递减；x＞3时，f′(x)＞0，函数f(x)递增，∴f(x)极大值=f(-1)=10；f(x)极小值=f(3)=-22.2.求函数f(x)=-2的极值.解析：由f(x)=-2知函数f(x)的定义域为R.f′(x)=.令f′(x)=0,得x=-1,或x=1.x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘极小值-3↗极大值-1↘由上表可以看出，当x=-1时，函数有极小值，且f(-1)==-3，当x=1时，函数有极大值，且f(1)==-1.3.已知函数f(x)=x3＋ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7;当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.解析：f′(x)=3x2+2ax+b.据题意，-1，3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得：∴a=-3,b=-9∴f(x)=x3-3x2-9x+c∵f(-1)=7,∴c=22极小值f(3)=33-3×32-93+2=-25∴极小值为-25,a=-13,b=-9,c=2.4.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.解析：(1)f′(x)=3ax2+2bx-3，依题意，f′(1)=0，f′(-1)=0,即解得a=1,b=0.∴f(x)=x3-3x,则f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).令f′(x)=0,得x=1或x=-1.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化状态如下表：x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘↗由上表可以看出，当x=-1时，函数f(x)取得极大值；当x=1时，函数f(x)取得极小值.(2)由(1)的计算可知曲线方程为y=f(x)=x3-3x,且点A(0,16)不在该曲线上，设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0=.又f′(x0)=,∴切线的方程为y-y0=()(x-x0).由于点A(0,16)在该切线上，从而有16-y0=()(-x0)，结合y0=，得x0=-2.∴y0=-2.∴适合题意的切线方程为9x-y+16=0.3
