2.4等比数列第2课时等比数列的性质A级基础巩固一、选择题1.＋1与－1，两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1D.解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，所以b＝±1.答案：C2．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是()A.B．－C.D.解析：设其中三项为an，an＋1，an＋2(n∈N*)，公比为q，则有an＝an＋1＋an＋2，即an＝anq＋anq2，所以q2＋q－1＝0.所以q＝.因为各项都为正数，所以q＝.答案：D3．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1，2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值为()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a＝22n，an＞0，则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，选C.答案：C4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为()A．10nB．n10C．100nD．n100解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.答案：A5．等比数列{an}中，an∈R*，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为()A．10B．20C．36D．128解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.故选B.答案：B二、填空题6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．解析：由an＋1＞an⇒a1qn＞a1qn－1，因为a1＜0，1所以qn＜qn－1⇒qn＜0对任意正整数n都成立．所以q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.答案：0＜q＜17．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝______________．解析：由a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，所以an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即(an＋3)是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以该数列的通项an＝2n＋1－3.答案：2n＋1－38．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝________．解析：因为a1·a2·a3·…·a30＝230，所以a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，所以a1＝2－，所以a1·q＝2，所以a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)＝(2－×22)10×(23)45＝220.答案：2209．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．解：法一：设该数列的公比为q，项数为2n，则S偶＝qS奇⇒＝85＋170，所以22n－1＝255.所以2n＝8.故这个数列的公比为2，项数为8.法二：设该数列的公比为q，项数为2n，则S奇＝＝85，S偶＝＝170.所以n＝4，q＝2.10．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.解：(1)由题意，(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2，又a1＝1，d＞0，所以d＝2，an＝2n－1.(2)bn＝＝＞0，所以数列{Sn}是递增数列，S1＝b1＝为Sn的最小值，故＞，t＜9.又t为整数，所以适合条件的t的最大值为8.B级能力提升1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－212，则第四项为－24.答案：A2．等比数列{an}中，a1＝317，q＝－.记f(n)＝a1·a2·…·an，则当f(n)最大时，n的值为________．解析：由于an＝317×，易知a9＝317×＞1，a10＜0，0＜a11＜1，又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9值最大，此时n＝9.答案：93．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a＞b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…；bn＝(an－1＋4bn－1)．an＝(4an－1＋bn－1)，所以an－bn＝(an－1－bn－1)＝…＝(a0－b0)·.因为a0－b0＝，所以an－bn＝·.依题意知·＜1%，n∈N*，解得n≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.3
