学业分层测评(十七)单调性(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在下列命题：①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)都有f′(x)＞0②若在(a，b)内对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内是增函数③若在(a，b)内f(x)为单调函数，则f′(x)也为单调函数④若可导函数在(a，b)内有f′(x)＜0，则在(a，b)内有f(x)＜0其中正确的是________(填序号).【解析】由函数的单调性以及与其导数的关系知②正确.【答案】②2.函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是________.【解析】f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝x·ex，令f′(x)＞0，解得x＞0，所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞).【答案】(0，＋∞)3.函数f(x)＝ln(1＋x)－的单调递增区间是________.【解析】f′(x)＝·(1＋x)′－＝－＝.在定义域(－1，＋∞)内，f′(x)＞0恒成立，所以函数的单调递增区间是(－1，＋∞).【答案】(－1，＋∞)4.(2016·西安高二检测)y＝＋x(k＞0)的单调减区间是________.【导学号：24830082】【解析】因为y′＝－＋1＝，所以y′＜0⇒x∈(－k,0)或(0，k).【答案】(－k,0)，(0，k)5.使y＝sinx＋ax为R上的增函数的a的范围是________.【解析】y′＝cosx＋a＞0，∴a＞－cosx，∴a＞1.【答案】a∈(1，＋∞)6.函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为________.【解析】令f′(x)＝1－2cosx＞0，则cosx＜，又x∈(0，π)，解得＜x＜π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为.【答案】7.函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上都递增，且在区间(0,2)上递减，则a＝________.【解析】f′(x)＝6x2＋2ax.若函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，(0,2)上递减，则f′(x)＞0的解集是(－∞，0)∪(2，＋∞)，f′(x)＜0的解集是(0,2)，∴0,2是f′(x)＝0的两根，解得a＝－6.【答案】－68.已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图334，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________(填序号).1图334【解析】由图象可获得如下信息：(1)函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数在x＝x0处的导数相同，故两函数在x＝x0处的切线平行或重合.(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y＝f(x)和y＝g(x)为增函数，且y＝f(x)增长的越来越慢，而y＝g(x)增长的越来越快.综合以上信息可以知道选④.【答案】④二、解答题9.求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2＋ex－xex；(2)f(x)＝＋lnx.【解】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex).若x<0，则1－ex>0，∴f′(x)<0；若x>0，则1－ex<0，∴f′(x)<0；若x＝0，则f′(x)＝0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)，无单调增区间.(2)因为f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减单调递增f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).10.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0(a≠1).(1)试用含a的代数式表示b；(2)试确定函数f(x)的单调区间.【导学号：24830083】【解】(1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′(－1)＝1－2a＋b＝0，得b＝2a－1.(2)由(1)得，f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x，故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a.①当a＞1时，1－2a＜－1，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－2a)(1－2a，－1)(－1，＋∞)2f′(x)＋－＋f(x)由此可得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1).②当a＜1时，1－2a＞－1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a).综上，当a＞1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)；当a＜1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a).能力提升]1.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则与的大小关系是________.【解析】设函数y＝，可得y′＝， ＜0，∴函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，对任意正数a，b...
