第3讲数列的综合问题配套作业1．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.2．(2018·哈尔滨模拟)设数列{an}的前n项和是Sn，若点An在函数f(x)＝－x＋c的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a1＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝aan，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．解(1)因为点An在函数f(x)＝－x＋c的图象上运动，所以＝－n＋c，所以Sn＝－n2＋cn.因为a1＝3，所以c＝4，所以Sn＝－n2＋4n，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)．又a1＝3满足上式，所以an＝－2n＋5(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋5＝4n－5，易知{bn}为等差数列，所以Tn＝＝2n2－3n，当n＝1时，Tn取最小值，所以Tn的最小值是T1＝－1.3．(2018·南昌模拟)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S10＝100，数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1的前5项和为9.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和为Tn，bn＝，求证：Tn<.解(1)设{an}的公差为d， 数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1的前5项和为9，∴a5＝9. S10＝5(a5＋a6)＝100，∴a6＝11，∴d＝2，a1＝1.∴an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明： bn＝＝＝×＝，∴Tn＝＝<×＝.4．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，3Sn＋1＝Sn＋1.(1)求数列{an}的通项公式；解(1)当n＝1时，3S2＝，a2＝，∴3a2＝a1；当n≥2时，3Sn＝Sn－1＋1，∴3an＋1＝an(n≥2)，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，则an＝×n－1＝n.从而Tn＝1×＋2×2＋…＋(n－1)×n－1＋n·n，①Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n·n＋1，②由①－②得，Tn＝＋2＋…＋n－n·n＋1＝－n·n＋1，因此Tn＝－(2n＋3)·n.5．(2018·青海西宁二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足4Sn－1＝a＋2an，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.解(1)当n＝1时，4a1＝4S1＝a＋2a1＋1，解得a1＝1.当n≥2时，4Sn＝a＋2an＋1,4Sn－1＝a＋2an－1＋1，两式相减得4an＝a＋2an－(a＋2an－1)，即a－a＝2(an＋an－1)，又an>0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.因为a1＝1也满足，综上，an＝2n－1(n∈N*)．(2)证明：bn＝＝＝，所以数列{bn}的前n项和Tn＝＝<，(Tn)min＝T1＝＝，所以≤Tn<.6．(2018·四川模拟)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.解所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)f′(x)＝2xln2，f′(a2)＝2a2ln2，故函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝2a2ln2(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意得，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，＝.所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝.7．(2018·天津模拟)数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，数列{bn}为等差数列，且b3＝3，b5＝9.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，·k≥bn恒成立，求实数k的取值范围．解(1)由an＋1＝2Sn＋1，①得an＝2Sn－1＋1(n≥2)．②①－②得，an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)．∴an＋1＝3an(n≥2)．又a1＝1，a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，也满足上式，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1. {bn}为等差数列，∴b5－b3＝2d＝6，∴d＝3.∴bn＝3＋(n－3)×3＝3n－6.(2)Sn＝＝＝，∴·k≥3n－6对任意的n∈N*恒成立，∴k≥＝2对任意的n∈N*恒成立．令cn＝，cn－cn－1＝－＝，当n≤3时，cn>cn－1，当n≥4时，cn
