高考数学总复习教程第18讲 不等式的性质、不等式证明VIP免费

高考数学总复习教程第18讲不等式的性质、不等式证明一、本讲内容本讲进度：不等式的意义，不等式的性质，不等式的证明二、学习指导实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a、b、a＞b，a=b，a＜b三者中有且只有一式成立a＞ba－b＞0，a=ba－b＞0，a＜ba－b＜0在不等式的意义的基础上总须出的不等式的性质是我们解不等式，证明不等式的理论基础，要熟练掌握。对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种：1．比较法，这是直接利用不等式的意义：A＞BA－B＞0等等，有时为方便计，也使用其变种：A＞B等等.2．分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明AB，我们就由BCD…A，也有称之为“执果过因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为： B∴C∴D…，∴A由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。3．综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，这次推出结论成立。4．反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。其它如判别式法，收缩法，函数法，代换法等都是技术层面上的技巧而已，不必一一列出。三、典型例题讲评例1．a1、b1、a2b2∈R，求证：（a12+a22）(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2.这是“柯西不等式”在n=2时的特殊情况，我们利用它来回顾一下常用的几种证明方法：1．比较法：左—右=(a1b2－a2b1)2≥02．分析法：左=a12b12+a22b22+a12b22+a22b12，右=a12b12+a22b22+2a1a2b1b2，要证原式，只要证明a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，即可3．综合法： a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，两边同加a12b12+a22b22.4．判别式法： (a1x+b1)2+(a2x+b2)2≥0恒成立.即(a12+a22)x2+2(a1b1+a2b2)x+(b12+b22)≥恒成立.又a12+a22＞0（若a12+a22=0，则a1=a2=0，原式左右相等）∴△=4(a1b1+a2b2)2－4(a12+a22)(b12+b22)≤0，推出结论.5．构造法：作向量6．几何法，在直角坐标系内取点A（a1，a2）B（b1，b2）则OA+OB≥AB（+）2≥()2亦即≥－(a1b1+a2b2)右边为负时当然成立，非负时平方即得。想一想：这样的实数增加到3对、4对…，上面的方法还都有效吗？例2．已知函数f(x)=ax2+c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。由已知如果把两式相减得到3≤3a≤b就大错特错了，因为同向不等式，只能相加，不能相减，事实上3＞0，5＞1，但3－5不大于0－1，我们只能把①式改写为1≤－a－c≤4与②式相加，0≤3a≤9即a∈[0，3]，类似地，可得－用心爱心专心123号编辑17≤c≤－1。那么，由此得到f(3)=9a+c∈[－7，26]这样做是否正确？f(3)∈[－7，26]这个说法不错，但f(3)的取值范围是[－7，26]都不对，因为有些值不可能取到，例如—7，只有当C=－7，a=0时，它与f(1)=a+c[－4，－1]矛盾，这是什么缘故？在a－0－c，平面内，满足f(1)[－4，－1]且f(2)∈[－1，5]的点的集合在图示平行四边形内，f(3)=9a+c的范围与过A、B两点的直线的在y轴上的截距相关，但经过求a、c范围的操作，反区域扩到了以A、B当对角线两端，邻边与两坐标轴平行的矩形，从而范围就有可能扩大了。正确做法是直接用f(1)，f(2)来表示f(3)，这需要用待定系数法（详见附录）例3．已知x、y∈R+且x+y≤π，m∈R.求证：m(m－1)sin(x+y)+m(sinx－siny)+siny恒正=siny＞0；若x+y∈(0，π)，则m2sin(x+y)+m(sinx－siny)－sin(x+y)+siny为开口向上的抛物线，只要证明判别式△=(sinx－siny－sin(x+y))2－4sinysin(x+y)＜0即可.这当然也需要一定技巧，如和积互化，适当收缩等等，详见附录.例4．(1)a、b、c互不相等，均当正数，且abc=1，求证：++＜++（2）a、b、c互不相等，匀当正数，且a+b+c=1，求证：++＜，且++＜3，在第（2）小题中，由a+b＞2（因a≠b，故不取等号）等三式相加，知2(a+b+c)＞2+2+2.两边同加a+b+c.3(a+b+c)＞(++)2，有了此式，第（2）小题两结论也就能自然地出来了。对第（1）小题，许多同学会把右边通分，利用abc=1变为++＜ab+bc+ca，但这并来给证明带来什么希望，问题出在两边“方次”不等，循着这一想法，我们把右边分子的1改为（而不...