高考数学复习点拨 破解椭圆问题“六法”VIP免费

破解椭圆问题“六法”一、定义法椭圆是一种重要的圆锥曲线，理解和掌握它的两种定义是解决椭圆问题的基础和前提。灵活运用椭圆的定义解题，常常能收到事半功倍之效。例1一个椭圆的两个焦点是)0,6(),0,6(，且椭圆过点1,6(），求椭圆的方程。解：由题意可设椭圆的方程为12222byax)0(ba.根据椭圆的第一定义立即得到,2222016601662a=615,∴3a.又6c,∴.369222cab于是椭圆的方程为13922yx例2设已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0)的右焦点为F,右准线为l.若过F且垂直于x轴的弦长等于点F到l的距离,求此椭圆的离心率.解：如图1,QMPQ.由椭圆的第二定义可知,离心率2121PQPQQMQFe.(图1)二、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是椭圆问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题。例3若动点P、Q在椭圆9x2+16y2=144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于（）A.326B.435C.522D.154解：对于动点P、Q，我们可以选一个特殊位置。(图2)用心爱心专心yOPHQxyOxPQFM令P是右顶点、Q是上顶点(如图2)。由a2=16,b2=9得，OP=4，OQ=3，则OH=512，根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，应选答案C.三、运用焦半径公式椭圆问题中常常涉及到椭圆上的点到焦点的距离，这时若能灵活运用相应的焦半径公式，往往会出奇制胜.例4设A(x1,y1)是椭圆x2+2y2=2上任意一点，过A作一条斜率为－112yx的直线l.又设d为原点到l的距离，r1，r2分别为A到两焦点的距离,求drr21的值.解：由题意得l的方程为，y－y1=－112yx(x－x1),即x1x+2y1y=2(因x12+2y12=2).∴d=2121214242xyx.由椭圆的焦半径公式可得，24212))((21211121xxexaexarr.于是drr21=2.四、整体相减法涉及到椭圆上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足椭圆方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例5求椭圆1222yx中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解：设斜率为2的平行弦（动弦）的两个端点A、B的坐标分别为),(),,(2211yxyx，中点M的坐标为),(yx.则12,1222222121yxyx。两式整体相减得，0221212121yyyyxxxx，∴0221212121xxyyyyxx.而,2,2,221212121yyyxxxxxyy∴082yx,.04yx即为斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.五、巧用平几知识用心爱心专心由于椭圆问题常常与平面几何图形有着紧密的联系，因此对于某些椭圆问题，若能根据其图形特征，巧用平面几何知识(如中位线定理、角平分线定理、平行线分线段成比例定理等)，往往能迅速找到解题的突破口.例6椭圆31222yx=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|是|PF2|的--------------倍.解：如图3，设F1、F2分别为左、右焦点，M为PF1的中点.由平面几何知识立即可得,OM是△PF1F2的中位线，因此PF2⊥x轴于F2，F2(3,0),c=3,a=32，23ace.由椭圆的焦半径（图3）公式可得,|PF1|:|PF2|=(a+3e):(a－3e)=7,即|PF1|是|PF2|的7倍..六、活用椭圆的参数方程涉及到椭圆上的动点与相关定点（焦点、顶点、中心等）的距离问题时，选用椭圆的参数方程，可以大大简化解题过程.例7已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0)上一点P（异于短轴的端点），点P与短轴的两个端点B1、B2的连线分别交x轴于M、N。那么|OM|·|ON|是否为与点P的位置无关的定值，并加以证明.x=acosθ解：如图4，因椭圆的参数方程为(θ为参数),因此可设与B1、y=bsinθB2不重合的动点P的坐标为(acosθ,bsinθ),且PB1与PB2的斜率均存在.直线PB1的方程为，y=bxabbcossin,令y=0,则x=sin1cosa,∴|OM|=sin1|cos|a。B2直线PB2的方程为，y=bxabbcossin，x用心爱心专心oPxyF1F2MoPyNM令y=0，则x=sin1cosa，∴|ON|=sin1cosa.B1(图4)故|OM|·|ON|=a2(定值).以上介绍了破解椭圆问题的六种常用方法.解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,有时候需要几种方法融为一体,共同发挥作用.用心爱心专心