第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．(教材改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B2．(2016·上饶质监)已知在▱ABCD中，AD＝(2,8)，AB＝(－3,4)，则AC＝()A．(－1，－12)B．(－1,12)C．(1，－12)D．(1,12)解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(－1,12)，故选B.答案B3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.答案A4．如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2解析以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝(1,0)，e2＝(－1,1)，a＝(－3,1)，因为a＝xe1＋ye2＝x(1,0)＋y(－1,1)，＝(x－y，y)，则解得故a＝－2e1＋e2.答案B5．已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－B.C.D.解析AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.答案A6．(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，CD＝rAB＋sAC，则r＋s等于()A.B.C．－3D．0解析因为CD＝2DB，所以CD＝CB＝(AB－AC)＝AB－AC，则r＋s＝＋＝0，故选D.答案D7．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，∵Q是AC的中点，∴AC＝2AQ＝(－6,4)，PC＝PA＋AC＝(－2,7)，∵BP＝2PC，∴BC＝3PC＝(－6,21)．答案B8．(2017·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且EC＝2AE，则向量EM＝()A.AC＋ABB.AC＋ABC.AC＋ABD.AC＋AB解析如图，∵EC＝2AE，∴EM＝EC＋CM＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC.答案C二、填空题9．(2017·广州综测)已知向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.解析因为(x,1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以解得所以x＋y＝－3.答案－310．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．解析AB＝(a－2，－2)，AC＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.答案11．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.答案12．在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝________(用e1，e2)表示．解析如图，MN＝CN－CM＝CN＋2BM＝CN＋BC＝－AC＋(AC－AB)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.答案－e1＋e213．(2017·合肥调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，所以x＝，y＝.答案A14．已知|OA|＝1，|OB|＝，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且OC与OA的夹角为30°，设OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则的值为()A．2B.C．3D．4解析∵OA·OB＝0，∴OA⊥OB，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，OA＝(1,0)，OB＝(0，)，OC＝mOA＋nOB＝(m，n)．∵tan30°＝＝，∴m＝3n，即＝3，故选C.答案C15．已知点A(－1,2)，B(2,8)，AC＝AB，DA＝－BA，则CD的坐标为________．解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由题意得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．因为AC＝AB，DA＝－BA，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD＝(－2，－4)．答案(－2，－4)16．(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|AP|＝1，PM＝MC，则|BM|2的最大值是________．解析建立平面直角坐标系如图所示，则B(－，0)，C(，0)，A(0,3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－，y＝2y0，代入圆的方程得2＋2＝，所以点M的轨迹方程为2＋2＝，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以|BM|max＝＋＝，所以|BM|＝.答案
