中难提分突破特训(一)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.(1)求角A的大小；(2)若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.解(1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB，由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB，整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC.又sinC≠0，所以cosA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，又CD＝2DB，∠BAC＝，所以ED＝AC＝1，∠DEA＝.由余弦定理可知，AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos，解得AE＝4，则AB＝6.又AC＝3，∠BAC＝，所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3.2．某企业招聘大学毕业生，经过综合测试，录用了14名女生和6名男生，这20名学生的测试成绩(单位：分)如茎叶图所示，记成绩不小于80分者为A等，小于80分者为B等．(1)求女生成绩的中位数及男生成绩的平均数；(2)如果用分层抽样的方法从A等学生和B等学生中抽取5人组成“创新团队”，现从该“创新团队”中随机抽取2人，求至少有1人是A等学生的概率．解(1)由题中茎叶图知，女生成绩位于中间的两个数是75和76，则女生成绩的中位数是75.5.男生成绩的平均数为×(69＋76＋78＋85＋87＋91)＝81.(2)用分层抽样的方法从A等学生和B等学生中抽取5人，每个人被抽中的概率是＝，根据茎叶图知，A等学生有8人，B等学生有12人，所以“创新团队”中的A等学生有8×＝2(人)，B等学生有12×＝3(人)，记“创新团队”中的2名A等学生分别为A1，A2，“创新团队”中的3名B等学生分别为B1，B2，B3，从这5人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10种，其中至少有1人是A等学生的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7种，所以至少有1人是A等学生的概率为.3.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC＝2FB.(1)证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；(2)若AB＝EC＝2，求三棱锥C－AEF的体积．解(1)证明：取线段AE的中点G，取线段AC的中点M，连接MG，GF，BM，则MG＝EC＝BF，又MG∥EC∥BF，∴四边形MBFG是平行四边形，故MB∥FG.∵MB⊥AC，平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，∴MB⊥平面ACC1A1，而BM∥FG，∴FG⊥平面ACC1A1，∵FG⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACC1A1.(2)由(1)得FG⊥平面AEC，FG＝BM＝，∴VC－AEF＝VF－ACE＝·S△ACE·FG＝××2×2×＝.4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解(1)由消去t，得x＋y－4＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－4＝0.由ρ＝2cos＝2＝2cosθ＋2sinθ，得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)解法一：设曲线C上的点P(1＋cosα，1＋sinα)，则点P到直线l的距离d＝＝＝.当sin＝－1时，dmax＝2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.解法二：设与直线l平行的直线l′的方程为x＋y＋b＝0，当直线l′与圆C相切时，＝，解得b＝0或b＝－4(舍去)，所以直线l′的方程为x＋y＝0.因为直线l与直线l′的距离d＝＝2，所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.5．设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|，当x<0时，由2－3x≤4，得－≤x<0；当0≤x≤1时，由2－x≤4，得0≤x≤1；当x>1时，由3x－2≤4，得1
