课堂达标(二十六)数列的概念与简单表示法[A基础巩固练]1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.B．cosC．cosπD．cosπ[解析]令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．[答案]D2．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A．5B.C.D.[解析] an＋an＋1＝，a2＝2，∴an＝∴S21＝11×＋10×2＝.[答案]B3．(2018·福建福州八中质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2017等于()A．1B．0C．2017D．－2017[解析] a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2017＝a1＝1.[答案]A4．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时， |an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．[答案]B5．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4…x2017等于()A.B.C.D.[解析]由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝××…×＝.[答案]D6．(2018·衡水中学检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9[解析] a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，1∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设{an}的前k项和数值最大，则有k∈N*，∴∴≤k≤， k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.[答案]B7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋10)，则f′(x)＝1－，令f′(x)＝0得x＝.∴当0时，f′(x)>0，即f(x)在区间(0，)上递减；在区间(，＋∞)上递增．又5<<6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，∴f(5)>f(6)，∴当n＝6时，有最小值.[答案]10．(2018·西安质检)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式．[解](1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1中，令n＝1得2S1＝a2－22＋1，令n＝2得2S2＝a3－23＋1，解得a2＝2a1＋3，a3＝6a1＋13.又2(a2＋5)＝a1＋a3，解得a1＝1.(2)由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，22Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1得an＋2＝3an＋1＋2n＋1.又a1＝1，a2＝5也满足a2＝3a1＋21，所以an＋1＝3an＋2n对n∈N*成立．∴an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)，∴an＋2n＝3n，∴an＝3n－2n.[B能力提升练]1．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则S6＝()A．44B．45C.×(46－1)D.×(45－1)[解析]由an＋1＝3Sn得a2＝3S1＝3.当n≥2时，an＝3Sn－1，则an＋1－an＝3an，n≥2，即an＋1＝4an，n≥2，则数列{an}从第二项起构成等比数列，所以S6＝＝＝45，故选B.[答案]B2．(2018·开封一模)已知函数y＝f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(...
