3.2.4二面角及其度量[A基础达标]1．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B．如图，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，1)，D(1，0，0)，C(1，1，0)，PD＝(1，0，－1)，CD＝(0，－1，0)，则平面PAB的一个法向量为n1＝(1，0，0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1.所以n2＝(1，0，1)，cos〈n1，n2〉＝＝.所以平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.所以此角的大小为45°.2.如图，二面角αlβ的平面角为120°，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD＝()A．B．C．2D．解析：选C．因为CD＝CA＋AB＋BD，所以CD2＝1＋1＋1＋2CA·BD，所以CD2＝3＋2×1×1·cos60°＝4，所以|CD|＝2.故选C．3．等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角CBMA的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选C．如图，由AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，得AC＝.因为M为AC中点，所以MC＝AM＝，1且CM⊥BM，AM⊥BM.所以∠CMA为二面角CBMA的平面角．因为AC＝1，MC＝MA＝.所以∠CMA＝90°，故选C．4．在正方体AC1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为()A．－B．C．D．解析：选B．如图建系，设正方体棱长为1，则D(0，0，0)、A1(1，0，1)、E(1，1，)．所以DA1＝(1，0，1)，DE＝(1，1，)．设平面A1ED的一个法向量为n＝(x，y，z)．则.令x＝1，则z＝－1，y＝－，所以n＝(1，－，－1)．又平面ABCD的一个法向量为DD1＝(0，0，1)．所以cos〈n，DD1〉＝＝－.所以平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为.5．已知三条射线PA，PB，PC的两两夹角都是60°，则二面角APBC的余弦值为()A．B．C．D．解析：选A．在PA、PB、PC上取点D、E、F使得PD＝PE＝PF，可知三棱锥DPEF为正四面体，取PE中点H，连接DH，FH，得∠DHF为二面角APBC的平面角，设PF＝a，PE＝b，PD＝c，则HD＝HP＋PD＝－b＋c，HF＝HP＋PF＝－b＋a，cos〈HD，HF〉＝＝.6．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．2设DA＝1，由已知条件得A(1，0，0)，E，F，AE＝，AF＝.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ，由得令y＝1，则z＝－3，x＝－1，故n＝(－1，1，－3)．由题意知平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，－1)，则cosθ＝|cos〈n，m〉|＝，所以tanθ＝.答案：7．△ABC是正三角形，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC，若S△PAB∶S△ABC＝，则二面角PABC的大小为________．解析：设二面角PABC的大小为θ，PA＝PB＝PC，P在面ABC上的射影O为△ABC的中心，所以S△OAB＝S△ABC，又S△PAB＝S△ABC.所以cosθ＝＝.所以θ＝60°.答案：60°8．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．解析：由题意得AB＝(－1，2，0)，AC＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由，知.令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为OC＝(0，0，3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为＝.答案：9．若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角APBC的余弦值．解：如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故AP＝(0，0，1)，AB＝(，1，0)，CB＝(，0，0)，CP＝(0，－1，1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则⇒⇒，令x＝1，则y＝－，故m＝(1，－，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则⇒⇒3令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，所以cos〈m，n〉＝＝.结合图形知二面角APBC的余弦值为.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E、F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．解：(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴...
