1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)明目标、知重点1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一复合函数的定义思考1观察函数y＝2xcosx及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答y＝2xcosx是由u＝2x及v＝cosx相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝lnu(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．思考2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答A⊆B.小结要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos3x.解(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；(3)y＝cos3x是由函数y＝cosu，u＝3x复合而成的．小结分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝ln；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(x＋1)．解(1)y＝lnu，u＝；(2)y＝eu，u＝sinx；1(3)y＝cosu，u＝x＋1.探究点二复合函数的导数思考如何求复合函数的导数？答对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例2求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.解(1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)y＝＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－)u－·(－2)＝(1－2x)－＝；(3)原函数可看作y＝sinu，u＝－2x＋的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·(－2)＝－2cos(－2x＋)＝－2cos(2x－)．(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln10·2＝(ln100)102x＋3.反思与感悟分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2求下列函数的导数．(1)y＝(2x＋3)3；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝sin(πx＋φ)．解(1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12.(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数u＝－0.05x＋1的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sinu，u＝πx＋φ的复合函数．∴yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(πx＋φ)′＝cosu·π＝πcos(πx＋φ)．探究点三导数的应用例3求曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程．解 y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，∴y′|＝2，∴曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程为y－1＝2(x＋)，即2x－y＋2＝0.反思与感悟求曲线切线的关键是正...
