考点23不等关系与不等式一、选择题1.(2016·浙江高考理科·T8)已知实数a,b,c()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100【解题指南】可利用特殊值法判断.【解析】选D.当a=b=10,c=-110时,A不适合;当a=10,b=-100,c=0时,B不适合;当a=100,b=-100,c=0时,C不适合.2.(2016·天津高考文科·T6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()A.B.∪C.D.【解题指南】利用f(x)的奇偶性把不等式f(2|a-1|)>f(-)脱去f,转化为指数不等式,然后利用指数函数的性质求解.【解析】选C.由f(x)是偶函数,且f(x)在上单调递增可知,在上单调递减.又f>f,f=f,可得,,即,解得
y>0,则()A.>0B.sinx-siny>0C.<0D.lnx+lny>0【解题指南】利用不等式的性质和函数的单调性解决问题.【解析】选C.=<0;当x=π,y=时,sinx-siny<0;函数y=在R上单调递减,所以即<0.当x=1,y=时,lnx+lny<0.二、填空题4.(2016·天津高考理科·T13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.【解题指南】利用f(x)的奇偶性把不等式f(2|a-1|)>f(-)脱去f,转化为指数不等式,然后利用指数函数的性质求解.【解析】由f(x)是偶函数且f(x)在上单调递增可知,在上单调递减.又f>f,f=f,可得,即,解得.答案:三、解答题5.(2016·天津高考理科·T20)(本小题满分14分)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3.(3)设a>0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.【解题指南】(1)求出f(x)的导函数,对a分类讨论.(2)利用f(x1)=f(x0)表示出x1,计算x1+2x0.(3)证明g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于,等价于证明在区间[0,2]上存在x1,x2,使得g(x1)-g(x2)≥,对a分类讨论,利用f(x)的单调性进行证明.【解析】(1)f(x)=(x-1)3-ax-b,f'(x)=3-a.②a≤0时,单调递增;②当a>0时,f(x)在区间上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.(2)由f'=0得3=a.所以f=,f==.所以f=f=f,所以x1+2x0=3.(3)欲证g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于,只需证在区间[0,2]上存在x1,x2,使得g(x1)-g(x2)≥即可.①a≥3时,f(x)在上单调递减,f(2)=1-2a-b,f(0)=-1-b,f(0)-f(2)=2a-2≥4>成立.②0时,f-f=>,成立.综上所述:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.6.(2016·天津高考文科·T20)(本小题满分14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0.(3)设a>0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.【解析】(1)由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:①当a≤0时,f'(x)=3x2-a≥0恒成立.所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=或x=-.当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表:x-f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,.(2)因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠0.由题意,得f'(x)=3-a=0,即,进而f(x0)=,又f(-2x0)=-8+2ax0-b=-x0+2ax0-b=-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0,所以x1+2x0=0.(3)设g(x)在区间[-1,1]上最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论;①当a≥3时,-≤-1<1≤,由(1)知,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(1),f(-1)],因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=所以M=a-1+|b|≥2.②当≤a<3时,≤-1<-<<1≤.由(1)和(2)知f(-1)≥f=f,f(1)≤f=f,所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为,因此M=max=max=max=.③当0f=f.所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1),f(1)].因此M=max=max{|-1+a-b|,|1-a-b|}=max{|1-a+b|,|1-a-b|}=1-a+|b|>.综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.
