课时作业22数系的扩充和复数的概念知识点一复数的概念1.下列命题中正确的是()A．0是实数不是复数B．实数集与复数集的交集是实数集C．复数集与虚数集的交集是空集D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应答案B解析A中，0是实数也是复数，所以A不正确．B中，实数集与复数集的交集是实数集，所以B正确．C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，所以C不正确．D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，所以D不正确．故选B.2．(1＋)i的实部与虚部分别是()A．1，B．1＋，0C．0,1＋D．0，(1＋)i答案C解析(1＋)i的实部为0，虚部为1＋.知识点二复数的分类3.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A解析由复数z为纯虚数可知解得x＝－1.4．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为当a，b∈R，“a＝0”时，“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.知识点三复数相等5.已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________.答案－1解析依题意，得解得所以a＋b＝－＋＝－1.6．求满足下列条件的实数x，y的值：(1)xi－i2＝y＋2i；(2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i；(3)(2x－1)－(3－y)i＝0.解(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得1(2)根据复数相等的充要条件可得解得或(3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得解得一、选择题1．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则所以“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的必要不充分条件，故选C.2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则()A．M∪R＝IB．(∁IM)∪R＝IC．(∁IM)∩R＝RD．M∩(∁IR)＝∅答案C解析根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故A，B，D三项均错误，只有C项正确．3．以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点()A．在圆x2＋y2＝2上B．在圆x2＋y2＝2外C．在圆x2＋y2＝2内D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定答案B解析因为以复数－i(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为.又＋x2＋2x＝(x＋1)2＋＞2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B.4．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－B．2kπ＋C．2kπ±D.＋(以上k∈Z)答案B解析由得(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．25．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为()A．0B．－1C．－D.答案A解析由z1＞z2，得即解得a＝0.二、填空题6．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isinπ，⑤4＋i；其中表示实数的有________．(填上序号)答案②③④解析②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．7．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.答案－2解析把原式整理得，(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，∵m∈R，∴⇒m＝－2.8．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．答案{3}解析由已知，得解得m＝3，所以所求的实数m的取值集合是{3}．三、解答题9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，求实数m，n的值．解∵z1＝z2，∴解得或∴m＝2，n＝±2.10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.(1)复数z是实数的充要条件是：⇔⇔m＝－2.∴当m＝－2时复数z为实数．(2)复数z是虚数的充要条件是：即m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．(3)复数z是纯虚数的充要条件是：⇔⇔m＝3.∴当m＝3时复数z为纯虚数．34
