第3讲几何概型一、填空题1．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为________．解析如图，以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内的面积为，故P＝.答案2．在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为________．解析要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. a，b∈[0，1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出的可行域，易得该函数无零点的概率P＝＝.答案3．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是________．解析设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率为＝.答案4．如图所示，墙上挂有一边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．解析所求概率为P＝＝1－.答案1－5．扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份．连结OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是________．解析依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、DOB、COB，其中面积恰为的扇形共有3个(即扇形AOD、EOC、BOD)，因此所求的概率等于.答案6．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是________．解析主要考查几何概型的概率计算．如图，由题知AB＝1，分别取AD与BC的中点E、F，则EF綊AB，∴要使S△ABP≥，只需P在矩形CDEF中，∴所求概率为＝.答案7．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝＝1－.答案1－8．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为________．解析设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝.答案9．在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为________．解析面积为36cm2时，边长AM＝6，面积为81cm2时，边长AM＝9，∴P＝＝＝.答案10．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．解析令x＝0得y＝，令y＝0得x＝，由于m∈(0,3)，∴S＝··＝，由题意，得<，解得－1
