第24讲平面向量的概念及其线性运算[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC中，已知M是BC的中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝(A)A．a－bB．a＋bC．a－bD．a＋b解析AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a，故选A．2．(2018·河北石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(D)A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb解析因为a，b，是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．3．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA，实数λ∈(1,2)，则(B)A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B一定共线解析∵OM＝λOB＋(1－λ)OA，∴OM－OA＝λ(OB－OA)，∴AM＝λAB.∵λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上．4．如图所示，在△ABC中，若BC＝3DC，则AD＝(C)A．AB＋ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB－AC解析AD＝CD－CA＝CB－CA＝(AB－AC)＋AC＝AB＋AC，故选C．5．(2018·甘肃兰州模拟)已知D为△ABC的边AB的中点，M在边DC上且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为(C)A．B．C．D．解析由5AM＝AB＋3AC得2AM＝2AD＋3AC－3AM，则2(AM－AD)＝3(AC－AM)，即2DM＝3MC，故DM＝DC，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.6．(2018·云南大理模拟)已知O是△ABC所在平面外一点且满足OP＝OA＋λ，λ为实数，则动点P的轨迹必须经过△ABC的(B)A．重心B．内心C．外心D．垂心解析如图，设＝AF，＝AE，已知AF，AE均为单位向量．故▱AEDF为菱形，所以AD平分∠BAC，由OP＝OA＋λ得AP＝λAD，又AP与AD有公共点A，故A，D，P三点共线，所以P点在∠BAC的平分线上，故P的轨迹经过△ABC的内心．二、填空题7．已知m，n满足|m|＝2，|n|＝3，|m－n|＝，则|m＋n|＝__3__.解析由平行四边形的对角线与边的关系及|m－n|与|m＋n|为以m，n为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m－n|2＋|m＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m－n|＝，故|m＋n|2＝26－17＝9，故|m＋n|＝3.8．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝__3__.解析由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM＝AD，因为AD为中线，则AB＋AC＝2AD＝3AM，所以m＝3.9．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为__－1__.解析∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD，即∴p＝－1．三、解答题10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，CD＝CA＋λCB，求实数λ的值．解析如图，D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，过点D作DF∥AC，交BC于点F，连接CD，则CD＝CE＋CF.因为CD＝CA＋λCB，所以CE＝CA，CF＝λCB.由△ADE∽△ABC，得＝＝，所以ED＝CF＝CB，故λ＝.11．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若AE＝mAB＋AD，求实数m的值．解析由N是OD的中点得AN＝AD＋AO＝AD＋(AD＋AB)＝AD＋AB，又因为A，N，E三点共线，故AE＝λAN，即mAB＋AD＝λ，所以解得故实数m＝.12．如图，△ABC中，GA＋GB＋GC＝0，CA＝a，CB＝b.若CP＝ma，CQ＝nb，CG∩PQ＝H，CG＝2CH，求＋的值．解析由GA＋GB＋GC＝0，知G为△ABC的重心，取AB的中点D，则CH＝CG＝CD＝(CA＋CB)＝CP＋CQ，由P，H，Q三点共线，得＋＝1，则＋＝6.
