高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理课时分层训练 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时分层训练(二十一)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()【导学号：66482174】A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为()【导学号：66482175】A.B．C．D．B[依题意得cosC＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absinC＝××＝，故选B.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A.B．C．D．D[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴sin∠BAC＝.]二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝__________.[由正弦定理可得＝，所以sinB＝，再由b＜a，可得B为锐角，所以cosB＝＝.]17．(2016·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．图361[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]8．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sinC＝cosC，则△ABC的面积为________.【导学号：66482176】[由sinC＝cosC得tanC＝＞0，所以C＝.根据正弦定理可得＝，即＝＝2，所以sinA＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，故S△ABC＝××1＝.]三、解答题9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cosB＝.(1)求b的值；(2)求sinC的值.【导学号：66482177】[解](1)因为b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.5分(2)因为cosB＝，所以sinB＝，7分由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直．(1)求sinA的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．[解](1)∵m＝(sinB,5sinA＋5sinC)与n＝(5sinB－6sinC，sinC－sinA)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sinBsinC＋5sin2C－5sin2A＝0，即sin2B＋sin2C－sin2A＝.3分根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，由余弦定理得cosA＝＝.∵A是△ABC的内角，∴sinA＝＝.6分(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.8分又∵a＝2，∴bc≤10.∵△ABC的面积S＝bcsinA＝≤4，∴△ABC的面积S的最大值为4.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)21．(2016·山东高考)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.B．C．D．C[∵b＝c，∴B＝C.又由A＋B＋C＝π得B＝－.由正弦定理及a2＝2b2(1－sinA)得sin2A＝2sin2B(1－sinA)，即sin2A＝2sin2(1－sinA)，即sin2A＝2cos2(1－sinA)，即4sin2cos2＝2cos2(1－sinA)，整理得cos2＝0，即cos2(cosA－sinA)＝0.∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，∴cosA＝sinA．又0＜A＜π，∴A＝.]2．如图362，图362在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．[在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝－，所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，所以AB＝.]3．(2017·陕西质检(二))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝3，a＋c＝3.(1)求cosB的最小值；(2)若BA·BC＝3，求A的大小.【导学号：66482178】[解](1)∵cosB＝＝＝＝－1≥－1＝.当且仅当a＝c＝时，取到最小值.(2)∵BA·BC＝3，∴accosB＝3.由(1)中可得cosB＝－1，∴cosB＝，∴ac＝6.由a＋c＝3及ac＝6，解得a＝2或a＝.由正弦定理＝可得当a＝2时，sinA＝sinB＝·＝1，3∴A＝.同理，当a＝时，求得A＝.综上，A的大小为或.4