高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念与通n项公式练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通n项公式A级基础巩固一、选择题1．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则的值为()A.B.C.D．1解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，所以＝＝.答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是()A．1B．2C．3D．4解析：设等差数列的第2项是a2，公差是d，则a3＝a2＋d，a6＝a2＋4d.由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a2＋d)2＝a2(a2＋4d)，则d＝2a2，公比q＝＝＝＝3.答案：C3．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是()A．等差数列B．既是等差数列又是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，所以log2b2＝log2ac即2log2b＝log2a＋log2c，所以log2a，log2b，log2c成等差数列．答案：A4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于()A．6B．－6C．±6D．±12解析：a＝＝，b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.答案：C5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：设第n年的研发投资资金为an，a1＝130，则an＝130×1.12n－1，由题意，需an＝130×1.12n－1≥200，解得n≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.1答案：B二、填空题6．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．解析：a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，所以a4与a8的等比中项为±＝±4.答案：±47．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．解析：设等比数列的公比为q，由得解得所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×＝2－n2＋n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64.答案：648．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于________．解析：设等比数列{an}的公比为q，由于a1，a3，2a2成等差数列，则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，所以q2＝1＋2q，解得q＝1±.又等比数列{an}中各项都是正数，所以q＞0，所以q＝1＋.所以＝＝＝＝3－2.答案：3－2三、解答题9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.a2＝＝，a4＝a3.q＝2q，所以＋2q＝.解得q＝或q＝3.当q＝时，a1＝18，所以an＝18×＝2×33－n.当q＝3时，a1＝，所以an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.10．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝.(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项．(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2an＝3an＋1，所以＝.又因为数列{an}的各项均为负数，所以a1≠0，2所以数列{an}是以为公比的等比数列．所以an＝a1·qn－1＝a1·.所以a2＝a1·＝a1，a5＝a1·＝a1，又因为a2·a5＝a1·a1＝，所以a＝.又因为a1<0，所以a1＝－.所以an＝×＝－(n∈N*)．(2)令an＝－＝－，则n－2＝4，n＝6∈N*，所以－是这个等比数列中的项，且是第6项．B级能力提升1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝()A．－4B．－2C．2D．4答案：A2．已知等比数列{an}，若a3a4a8＝8，则a1a2…a9＝________．答案：5123．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用an表示an＋1；(2)求证：是等比数列；(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式及项的最值．(1)解：根据根与系数的关系，得代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3.所以an＋1＝an＋.(2)证明：因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝.若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以an≠，即an－≠0.所以数列是以为公比的等比数列．(3)解：当a1＝时，a1－＝，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以an－＝×＝，所以an＝＋，n＝1，2，3，…，即数列{an}的通项公式为an＝＋，n＝1，2，3，….由函数y＝在(0，＋∞)上单调递减知，当n＝1时，an的值最大，即最大值为a1＝.34