2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各组向量中不平行的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)解析：A中b＝－2a，∴a∥b；B中，d＝－3c，∴c∥d；C中0与任何向量平行．答案：D2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ为()A．2B．－2C．－2或D．2或－解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，化简得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝.答案：C3．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1B．1C．0D．－2解析：∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.答案：A4．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C．4D．8解析：设向量a，b的夹角为θ，于是cosθ＝＝，由此可得sinθ＝.以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝2××3×3×＝.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．解析：AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)，cos〈AB，CA〉＝＝＝＝－，又〈AB，CA〉∈[0°，180°]，∴〈AB，CA〉＝120°，即θ＝120°.答案：120°6．设a＝(1,2，－1)，b＝(－2,3,2)．若(ka＋b)∥(a－3b)，则k的值是________．解析：∵ka＋b＝k(1,2，－1)＋(－2,3,2)＝(k－2,2k＋3，2－k)，a－3b＝(1,2，－1)－3(－2,3,2)＝(7，－7，－7)．∵(ka＋b)∥(a－3b)，故存在λ∈R，使(ka＋b)＝λ(a－3b)，即(k－2,2k＋3,2－k)＝λ(7，－7，－7)，1所以解得k＝－.答案：－三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．解析：方法一：设M(x，y，z)，由图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，则AC1＝(－a，a，a)，AM＝(x－a，y，z)，BM＝(x－a，y－a，z)．∵BM⊥AC1，∴BM·AC1＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y＋z＝0.①又∵AC1∥AM，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②得x＝，y＝，z＝.∴M.方法二：设AM＝λAC1＝(－aλ，aλ，aλ)，∴BM＝BA＋AM＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a，aλ)．∴BM⊥AC1，∴BM·AC1＝0，即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝，∴AM＝，DM＝DA＋AM＝.∴M点坐标为.8．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值；(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值．解析：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－；(2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.9．(10分)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．2(1)求BN的模；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1B⊥C1M.解析：以C为坐标原点，以CA，CB，CC1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C－xyz，如图．(1)由题意得N(1,0,1)，B(0,1,0)．∴|BN|＝＝.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0，0,0)，B1(0,1,2)，∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴BA1·CB1＝3.∴|BA1|＝，|CB1|＝，∴cos〈BA1，CB1〉＝＝.∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.(3)证明：∵A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝，∴A1B·C1M＝－1×＋1×＋(－2)×0＝0，∴A1B⊥C1M，即A1B⊥C1M.3
