“空间直角坐标系”学习指南一、知识梳理：（一）空间直角坐标系的建立1、建立空间直角坐标系时，我们通常建右手直角坐标系：在轴的端点处观察，从轴到轴的最短旋转方向为逆时针；2、在平面上画空间直角坐标系时，一般使。（二）空间直角坐标系中点的坐标1、空间的任一点与一个有序数组（点的坐标）之间建立起一一对应的关系，。这里应熟练掌握由坐标确定点的位置和求点的坐标两类问题；2、坐标平面、坐标轴上点的记法：平面上的点可记作平面上的点可记作平面上的点可记作轴上的点可记作轴上的点可记作轴上的点可记作3、空间直角坐标系内点的对称问题：关于坐标平面对称的点关于坐标平面对称的点关于坐标平面对称的点关于轴对称的点关于轴对称的点关于轴对称的点关于原点对称的点.4、空间两点的中点坐标公式：空间的两点，则中点的坐标为.（三）空间两点间的距离公式1、设，则；特别地，点到原点的距离为.2、推导过程中体现了一种降维的思想：将三维空间的一个距离问题转化到二维空间的距离问题。二、典例解析：用心爱心专心（一）求空间中点的坐标例1、在四棱锥中，底面是一个直角梯形，底面的中点，试建立适当的坐标系，求出各点的坐标。【解析】由题意知，两两互相垂直，故以为坐标原点，以所在的直线分别为建立空间直角坐标系（如右图）。又故点又的中点，且，，.【点悟】（1）建立空间直角坐标系求点的坐标时，要尽可能多的点落在坐标轴上，出现三条线相互垂直时，一般以这三条线为坐标轴来建立坐标系；（2）求点的坐标时要善于运用图形中的几何关系。（二）空间两点间距离公式的应用例2、已知空间的两点（1）求两点的距离；（2）在轴上求一点使；（3）在平面内的点到点与到点等距离，求点的轨迹。【解析】（1）由两点间的距离公式可知；（2）设则由已知得，即，解得；所以点坐标为.（3）设则有，整理可得用心爱心专心故点的轨迹是平面内的一条直线。【点悟】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用。（三）综合应用问题例3、如右图，正方形，的边长都是1，而且平面与平面互相垂直，点在上移动，点在上移动，若（）（1）求的长；（2）当为何值时，的长最小。【解析】，两两垂直。以点为原点，以所在的直线分别为，建立如右图所示的空间直角坐标系。易知最短且等于，此时，恰为的中点。【点悟】本题求解的方法比较多，但利用坐标法是比较简单易行的；在解决一些立体几何问题时，如果容易建立空间直角坐标系（特别是在题目的已知条件中有三条直线两两垂直），不妨通过建系，利用坐标法来解决。用心爱心专心
