平面向量的概念及其线性运算1．如图K23－1，正六边形ABCDEF中，图K23－1BA＋CD＋EF＝()A．0B.BEC.ADD.CF2.AO＋BC＋OB等于()A.ABB.ACC．0D.AO3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|＝|λ|·a图K23－24．如图K23－2所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝()A.OHB.OGC.FOD.EO图K23－35．如图K23－3，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()A.AD＋BE＋CF＝0B.BD－CF＋DF＝0C.AD＋CE－CF＝0D.BD－BE－FC＝06．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()A．2B．3C．4D．58．已知a，b是不共线的向量，若AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2－1＝0D．λ1·λ2＋1＝1图K23－49．如图K23－4，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为________．10．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，若有AO＝kOD，则k＝________.图K23－511．在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交于E，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC＝________，DC＝________.12．(13分)已知O为△ABC内一点，且OA＋OB＋OC＝0，求证：O为△ABC的重心．13．(12分)若M为△ABC内一点，且满足AM＝AB＋AC，求△ABM与△ABC的面积之比．答案解析【基础热身】1．D[解析]BA＋CD＋EF＝DE＋CD－EF＝CD－DE＋EF＝CF，所以选D.2．B[解析]＋BC＋OB＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC.3．B[解析]λ可正可负，故A不正确；而λ≠0，故λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，B正确；又|λ|与1的大小不确定，故C不正确；D中前者是一个数值，后者是一个向量．4．C[解析]令a＝OP＋OQ，利用平行四边形法则作出向量OP＋OQ，再平移即发现a＝FO.【能力提升】5．A[解析]∵AD＝DB，∴AD＋BE＝DB＋BE＝DE＝FC，得AD＋BE＋CF＝0.或AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋CF＝AF＋CF＝0.6．A[解析]“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b”⇒/“a＋2b＝0”，所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．7．B[解析]由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM＝AD①，因为AD为中线，则AB＋AC＝2AD＝mAM②，联立①②可得m＝3，故B正确．8．C[解析]若A，B，C三点共线，则有AB＝λAC，即λ1a＋b＝λa＋λλ2b，解得λ1λ2＝1.9.[解析]∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则DF＝DC，∴AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝AD＋(AC－AD)＝AD＋AC＝AB＋AC，∴x＝，y＝.10．1[解析]OB＋OC＝2OD，即有OA＝－OD，所以k＝1.11．2a－b2a－b[解析]因为A是BC的中点，所以OA＝(OB＋OC)，即OC＝2OA－OB＝2a－b；DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b.12．[解答]证明：因为OA＋OB＋OC＝0，所以OA＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是与OA方向相反且长度相等的向量，如图所示，以OB、OC为相邻两边作平行四边形OBDC.则OD＝OB＋OC，所以OD＝－OA，在平行四边形OBDC中，设BC与OD相交于E，则BE＝EC，OE＝ED，所以AE是△ABC的BC边的中线，且|OA|＝2|OE|，根据平面几何知识知O是△ABC的重心．【难点突破】13．[解答]∵AM＝AB＋AC，∴AM＝(MB－MA)＋(MC－MA)，∴MB＋MC＝0，∴MC＝3BM，∴＝.
