2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系A级:“四基”巩固训练一、选择题1.关于一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况,下列说法正确的是()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根答案C解析因为方程的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,所以方程有两个不相等的实数根.故选C.2.已知A={x|x2-x-12=0},B={x|x2-3x-28=0},则A∩B,A∪B分别为()A.{4},{-3,4,7}B.{-4},{-3,-4,7}C.∅,{-3,4,7}D.∅,{-3,4,-4,7}答案D解析因为A={x|(x+3)(x-4)=0}={-3,4},B={x|x2-3x-28=0}={x|(x+4)(x-7)=0}={-4,7},所以A∩B=∅,A∪B={-3,4,-4,7}.故选D.3.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2或2D.-3或1答案A解析原一元二次方程可变为x2+(a+1)x=0,若方程有两个相等的实数根,则有Δ=(a+1)2=0,解得a=-1.故选A.4.已知关于x的方程mx2-5x+2=0的解集为空集,则实数m的取值范围为()A.B.C.D.∅答案B解析由已知方程的解集为空集,可知m≠0,方程为一元二次方程,Δ=(-5)2-4×m×2=25-8m<0,即m>.故选B.5.方程(x-1)2=t-2(t为常数)的解集为()A.∅B.{1}C.{1-,1+}D.∅或{1}或{1-,1+}答案D解析当t-2<0时,即t<2时,方程的解集为∅,当t-2=0时,即t=2时,方程的解集为{1},当t-2>0时,即t>2时,方程的解集为{1-,1+}.综上方程的解集为∅或{1}或{1-,1+}.故选D.二、填空题6.方程x+2-3=0的解集为________.答案{5-2}解析设=y,则y≥0,且原方程可变为y2+2y-5=0,因此可知y=-1+或y=-1-(舍去).从而=-1+,即x=5-2,所以原方程的解集为{5-2}.7.关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,则m的最大整数解是________.答案4解析因为关于x的一元二次方程有实数根,所以Δ=22-4(m-5)×2=4-8(m-5)≥0,且m-5≠0,解得m≤且m≠5,所以m的最大整数解为4.8.已知关于x的方程x2-3x+m+2=0的两根异号,则实数m的取值范围为________.答案{m|m<-2}解析由方程x2-3x+m+2=0的两根异号及方程两根的积与方程系数的关系可得解得m<-2,即{m|m<-2}.三、解答题9.求方程(x+)2+a-8=0的解集.解原方程可变为(x+)2=8-a,当8-a>0,即a<8时,x+=±,解得x=-±,当8-a=0时,即a=8时,x+=0,解得x=-;当8-a<0,即a>8时,方程的解集为∅.综上,方程(x+)2+a-8=0的解集为:a<8时,{-+,--};a=8时,{-};a>8时,∅.10.已知方程x2-3x+2=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:(1)xx2+x1x;(2)-.解由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=3,x1x2=2.(1)xx2+x1x=x1x2(x+x)=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=2×[(3)2-2×2]=2×23=46.(2)-===±=±.B级:“四能”提升训练1.求关于x的方程-+a=0的解集.解设=y,则y>0,原方程可变为y2-2y+a=0,(y-1)2=1-a,当1-a>0,即a<1时,y-1=±,y=1±;当1-a=0,即a=1时,y=1;当1-a<0,即a>1时,方程y2-2y+a=0的解集为∅.所以当a≤0时,=1+,即x=,所求方程的解集为;当0
1时,方程-+a=0的解集为∅.2.已知关于x的方程x2-3mx+2n=0的两根为m与x1,求下列各式的值:(1)(m2+x);(2)-1.解由一元二次方程根与系数的关系,得m+x1=3m,mx1=2n.由m为方程的根,得m2-3m2+2n=0,即m2=n.(1)(m2+x)=[(m+x1)2-2mx1]=[(3m)2-2×2n]=(9m2-4n)=×5n=5.(2)-1=-=m=m·=m·=m·=m·=±=±.