高中数学 第3章 不等式章末知识整合 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

【金版学案】2015-2016学年高中数学第3章不等式章末知识整合苏教版必修5题型1转化与化归思想的应用例1若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．分析：“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．解析：方法一(看成函数的值域) ab＝a＋b＋3，∴b＝(显然a≠1)，且a＞1.∴ab＝a×＝＝(a－1)＋＋5≥9，当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号．又a＞3时，(a－1)＋＋5单调递增．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．方法二(看成不等式的解集) a，b为正数，∴a＋b≥2.又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2＋3，即()2－2－3≥0.解得≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9，即ab的取值范围是[9，＋∞)．方法三若设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．从而有即解得t≥9，即ab≥9，1∴ab的取值范围是[9，＋∞)．►归纳拓展不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．►变式迁移1．如果关于x的不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________．解析： 4x2＋6x＋3＝＋＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)．即2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(6－2m)2－4×2(3－m)＝4(m－1)·(m－3)＜0，解得1＜m＜3.答案：(1，3)2．若关于x的不等式组的解集中所含整数只有－2，则k的取值范围是________．解析：由⇒要使解集中所含整数只有－2，则必须－2＜－k≤3.即－3≤k＜2.答案：[－3，2)题型2函数与方程思想的应用例2设a∈R，关于x的一元二次不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集是{x|α＜x＜β}，且0＜α＜1＜β＜2，求a的取值范围．分析：本题实质是一元二次方程根的分布问题，要结合二次函数解决由不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集是{x|α＜x＜β}，可知方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根为α，β，且两根分别在(0，1)与(1，2)内，可利用一元二次方程根的分布知识解决这个问题．解析：因为不等式7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＜0的解集是{x|α＜x＜β}，所以方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0的两根为α，β.令f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，因为0＜α＜1＜β＜2，2所以α∈(0，1)，β∈(1，2)．由f(x)的图象知⇒⇒所以a的取值范围是(－2，－1)∪(3，4)．►归纳拓展函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．方程思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．函数与方程二者密不可分，如函数解析式y＝f(x)也可看作方程．函数有意义则方程有解，方程有解则函数有意义等．函数与方程思想体现了静与动，变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．具体包括：①利用函数图象讨论方程解的个数及分布情况，讨论不等式的取值情况；②利用函数解决代数、解析几何中有关取值范围、交点数目等问题，以及函数在实际中的应用；③利用方程解决有关函数的问题．函数、方程、不等式三者密不可分，从求解一元二次不等式的过程中可见一斑．在不等式问题中，很多可以从函数的角度进行求解．如f(x)＞a恒成立等价于f(x)min＞a.►变式迁移3．求证：sin2x＋≥5.证明：设sin2x＝t，原式变形为f(t)＝t＋，则f(t)在t∈(0，1]时为单调递减函数． 0＜sin2x≤1，∴当sin2x＝1，即t＝1时，f(t)有最小值，f(t)min＝5.∴f(t)＝t＋≥5，即sin2x＋≥5.34．定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．解析：由f(1－a)＋f(1－a2)＜0得f(1－a)＜－f(1－a2)＝f(a2－1)，∴...