课下梯度提能（二十）一、题组对点训练对点练一平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝()A．－1B．－C.D．12．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为()A.B．3C．－D．－33．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝()A.B.C.D．(1，0)对点练二向量模的问题4．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4B．2C．8D．85．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．对点练三向量的夹角与垂直问题6．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝C．a－b与b垂直D．a∥b7．以原点O和点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求点B和向量的坐标．8．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.对点练四平面向量的数量积问题9．在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则CP·CB＋CP·CA＝()A．0B．1C.D．－10．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且DC＝－DA，则BD·AC＝________.二、综合过关训练A.B．－C．4D．－42．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.B．－C.D．－4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.5．如图，已知点A(1，1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．7．已知O为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案[学业水平达标练]1.解析：选Da·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.2.解析：选D向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.3.解析：选B法一：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.由，解得即b＝.故选B.法二：利用排除法．D中，y＝0，∴D不符合题意；C中，向量不是单位向量，∴C不符合题意；A中，向量使得a·b＝2，∴A不符合题意．故选B.4.解析：选D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.5.解析：a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.答案：6.解析：选C由题意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b与b垂直．7.解：设点B坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．∵⊥，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0.又∵||＝||，∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，即10x＋4y＝29.由解得或∴点B的坐标为或.←＝或.8.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.9.解析：选B以点C为坐标原点，分别以CA，CB的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨设P，所以CP·CB＋CP·CA＝CP·(CB＋CA)＝＋＝1.故选B.10.解析：根据题意得BD·AC＝·(BC－BA)＝BA·BC－×16＋×4－BA·BC＝－BA·BC－＝－×4×2×cos120°－＝－4.答案：－4二、综合过关训练1.解得m＝4.2.解析：选C设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP―→·BP―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．3.解析：选C设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以解得故b＝(－5，12)，所以cos〈a，b〉＝＝.4.解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝.答案：5.解析：依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝，所以＝.答案：6.解析：因为a与b的夹角为锐角，所以0<<1，即0<<1，解得λ<－或0<λ<或λ>.答案：∪∪7.解：假设存在点M，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.∴存在M(2，1)或M满足题意．
