课后提升作业二十一导数的运算法则(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·沈阳高二检测)已知f(x)=x-5+3sinx,则f′(x)等于()A.-5x-6-3cosxB.x-6+3cosxC.-5x-6+3cosxD.x-6-3cosx【解析】选C.f′(x)=-5x-6+3cosx.【补偿训练】函数y=xsinx+的导数是()A.y=sinx+xcosx+B.y=sinx-xcosx+C.y=sinx+xcosx-D.y=sinx-xcosx-【解析】选A.因为y=xsinx+,所以y′=′=′+′=x′sinx+x·(sinx)′+=sinx+xcosx+.2.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是()【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近于原点的区间上,sinx>x,所以f′(x)<0,1所以靠近于原点的地方在原点的右侧,图象应该落在第四象限,排除C.3.下列求导运算正确的是()A.′=1+B.′=C.′=3x·log3eD.′=-2sinx【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;又′=,所以选项B正确;又′=3xln3,所以选项C错误;又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.4.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.165°【解析】选B.由y=x2-2,得y′=x,由导数的几何意义知,曲线上过点P的切线的斜率为y′|x=1=1,因此过点P的切线的倾斜角为45°.5.(2016·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=()A.e-1B.-1C.-e-1D.-e【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-=-e-1.6.(2016·银川高二检测)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.【解题指南】解决本题的关键是掌握导数的几何意义,正确求出导函数.【解析】选A.定义域为,设切点为,2因为f′=y′=x-,所以f′=x0-=,解得x0=3或x0=-2(舍去)【补偿训练】已知函数f(x)=lnx-ax2在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a=.【解析】由题意,得f′(x)=-2ax,则由导数的几何意义,知f′(2)=-4a=-,解得a=.答案:【误区警示】(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点.(2)曲线在某点处的切线若有且只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条,切线与曲线的公共点不一定只有一个.7.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是()A.10B.9C.8D.3【解析】选B.由题f′(x)=2ax+b,又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f′(1)=2a+b=2,所以a+=1,所以=+==++5≥2+5=9,当且仅当时“=”成立,所以的最小值是9.【补偿训练】设点P是曲线y=x3-x+b(b为实常数)上任意一点,P点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是()A.B.C.∪D.∪3【解析】选D.y=x3-x+b,所以y′=3x2-≥-,所以切线斜率k≥-,所以tanα≥-,倾斜角α的范围为∪.8.(2016·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)=()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,fn+4(x)=fn(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx.【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)=.【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.答案:-cosx+sinx二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·南宁高二检测)已知函数f(x)=2lnx+8x,则的值等于.【解析】f(x)=2lnx+8x,所以f′=+8,=-2=-2f′=-20.答案:-2010.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程的一般形式为.【解析】利用导数的几何意义求切线的斜率,k=y′|x=0=-5,点斜式写出切线方程y+2=-5x,即5x+y+2=0,所以答案应填:5x+y+2=0.答案:5x+y+2=0【补偿训练】(2016·南宁高二检测)曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为.4【解析】由y=f(x)=得f′(-1)=2,所以所求切线的斜率为2,由点斜式可得y+1=2(x+1),整理得2x-y+1=...
