课时作业11椭圆的简单几何性质时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于()A.B.C.D.解析：∵a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，∴m＝.答案：B2．若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率e是()A.B.C.D.解析：由椭圆定义知|OF1|＋|OF2|＝2a，∴2a＝4，∴a＝2，又∵c＝1，∴e＝＝.答案：C3．椭圆(m＋1)x2＋my2＝1的长轴长是()A.B.C.D．－解析：椭圆方程可简化为＋＝1，由题意知m>0，∴<，∴a＝，∴椭圆的长轴长2a＝.答案：C4．椭圆＋＝1(a>b>0)和＋＝k(k>0)具有()A．相同的长轴长B．相同的焦点C．相同的离心率D．相同的顶点解析：椭圆＋＝1的离心率e1＝；＋＝k可化为＋＝1(k>0)，其离心率e2＝＝.∴e1＝e2.答案：C5．椭圆的两个焦点和它在短轴上的两个顶点连成一个正方形，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：由题意知b＝c，a＝c，∴e＝＝.答案：B6．(2009·江西高考)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.1图1解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，∴|PF1|＝|PF2|，∴|PF2|＝2a⇒|PF2|＝a，|PF1|＝a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|F1F2|2＝|PF2|2，∴2＋(2c)2＝2⇒e＝＝，故选B.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．椭圆的一个焦点将长轴分为3∶2的两段，则椭圆的离心率是________．解析：由题意知＝，即＝，∴e＝.答案：8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a，由2a＝12知a＝6.又e＝＝，故c＝3，b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝19．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于________．解析：当焦点在x轴上时，a＝，b＝2，c＝，e＝＝＝，解得k＝；当焦点在y轴上时，a＝2，b＝，c＝，e＝＝＝，解得k＝.所以k＝或k＝.答案：或三、解答题(共40分)10．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3，－1)；(2)椭圆过点(3,0)，离心率e＝.解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．由已知a＝3b且椭圆过点(3，－1)，∴＋＝1或＋＝1，∴或故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.(2)当椭圆的焦点在x轴上时，由题意知a＝3，＝，∴c＝.∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，由题意知b＝3，＝，∴＝，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.2图211．(15分)如图2，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解：法1：设焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)．在Rt△MF1F2中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，即4c2＋b2＝|MF1|2，而|MF1|＋|MF2|＝＋b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.法2：设M(c，b)，代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.12．(15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2分别是它的左、右焦点，如果在椭圆上存在一点M(x0，y0)，使得∠F1MF2＝，求离心率e的取值范围．解：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，|F1F2|＝2c，由余弦定理，有(2c)2＝r＋r－2r1r2cos＝(r1＋r2)2－3r1r2，又r1＋r2＝2a，∴4a2－4c2＝3r1r2≤3()2＝3a2，即a2≤4c2，∴e2＝()2≥.又0
