课时分层训练(二十六)数列的概念与简单表示法A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝()A.B.C.D.D[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，，，，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，C[根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·台州期末)数列{an}的首项a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为()A．5B．6C．7D．8B[由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6，故选B.]4．(2017·温州3月测试)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝()A．3(3n－2n)B．3n＋2C．3nD．3·2n－1C[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，整理，得an＝3an－1，由a1＝(a1－1)，得a1＝3，∴＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n，故选C.]5．数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2017＝()A.B．－C．2D．－2C[由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，则有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，故数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1a2a3a4＝1，所以T2017＝(a1a2a3a4)504a1＝1504×2＝2.]二、填空题6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝__________.【导学号：51062160】12[当n≥2时，an＝2n－2n－1＝2n－1，所以a3＋a4＝22＋23＝12.]7．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．10[令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．∴a10＝0.08.]18．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________.[由已知得，－＝n，所以－＝n－1，－＝n－2，…，－＝1，所以－＝，a1＝1，所以＝，所以an＝.]三、解答题9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？【导学号：51062161】[解](1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.4分(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.10分(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数.14分10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解](1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.2分由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.6分(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.9分于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，……an－1＝an－2，an＝an－1.12分将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.显然，当n＝1时也满足上式．综上可知，{an}的通项公式an＝.14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·衢州市二次质量预测)设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是()A.B.C.D.D[由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.]22．(2017·宁波一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________.【导学号：51062162】[由an＋1＝3Sn，得an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)，∴an＋1＝4an(n≥2)．∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1，∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)．故an＝]3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1an知该数列是一个递增数列，9分又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.所以实数k的取值范围为(－3，＋∞).14分3
