高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算课时规范训练 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.1.2空间向量的数乘运算基础练习1．若a，b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)【答案】D【解析】当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD．－a－b＋c【答案】A【解析】B1M＝B1B＋BM＝A1A＋(AD－AB)＝c＋b－a.3．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A．OM＝2OA－OB－OCB．OM＝OA＋OB＋OCC．MA＋MB＋MC＝0D．OM＋OA＋OB＋OC＝0【答案】C4．已知正方体ABCDA′B′C′D′，E是底面A′B′C′D′的中心，a＝AA′，b＝AB，c＝AD，AE＝xa＋yb＋zc，则()A．x＝2，y＝1，z＝B．x＝1，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1D．x＝，y＝，z＝【答案】A5．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若AB，CD共线，则AB∥CD；1④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中正确命题的个数是________．【答案】1【解析】显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．6．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，则2x＋3y＋4z＝________.【答案】－1【解析】OA＝－2xOB－3yOC－4zOD.∵A，B，C，D共面，∴－2x－3y－4z＝1.∴2x＋3y＋4z＝－1.7．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．(1)用向量法证明：E，F，G，H四点共面；(2)用向量法证明：BD∥平面EFGH.证明：(1)EF＝EB＋BF＝AB＋BC＝AC.同理可得HG＝AC.∴EF＝HG.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD，∴EH∥BD．又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.8．求证：向量e1，e2，e3共面的充要条件是存在三个不全为零的实数λ，μ，v使得λe1＋μe2＋ve3＝0.证明：必要性：由共面向量定理，知当e1，e2，e3共面时，存在实数μ′，v′使得e1＝μ′e2＋v′e3，即－e1＋μ′e2＋v′e3＝0.取λ＝－1，μ＝μ′，v＝v′，则有λe1＋μe2＋ve3＝0.充分性：假设存在不全为零的三个实数λ，μ，v，使λe1＋μe2＋ve3＝0，不妨设λ≠0.于是可得e1＝－e2－e3.故由共面向量定理可知e1，e2，e3共面．能力提升9．已知向量a，b且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2AB，∴BD与AB共线．又它们过同一点B，∴A，B，D共线．故选A．10．已知O，A，B，C为空间不共面四点且向量a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，则与a，b共面的向量是()A．OAB．OBC．OCD．OA或OB【答案】C2【解析】由a＝OA＋OB＋OC，b＝OA＋OB－OC，得OC＝a－b，∴OC与a，b共面．故选C．11．已知a，b，c是不共面的三个向量，且实数x，y，z使xa＋yb＋zc＝0，则x2＋y2＋z2＝________.【答案】0【解析】由共面向量基本定理可知a，b，c不共面时，要使xa＋yb＋zc＝0，必有x＝y＝z＝0，∴x2＋y2＋z2＝0.12．已知三棱柱ABCA′B′C′，如图，设AB＝a，AC＝b，AA′＝c.在对角线AC′和棱BC上分别取点M，N，使AM＝kAC′，BN＝kBC，0≤k≤1，求证：MN与向量a和c共面．解：AM＝kAC′＝kb＋kc，AN＝AB＋BN＝a＋kBC＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb.∴MN＝AN－AM＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc.∴MN与向量a和c共面．3