第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．(2015年辽宁沈阳质检)已知在▱ABCD中，AD＝(2,8)，AB＝(－3,4)，则AC＝()A．(－1，－12)B．(－1,12)C．(1，－12)D．(1,12)2．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)3．如图X421，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则()图X421A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝4．若向量α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)5．(2016年湖南怀化一模)如图X422，在△ABC中，D为AB的中点，F在线段CD上，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则＋的最小值为()图X422A．8＋2B．8C．6D．6＋26．(2016年山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.7．(2017年江苏)如图X423，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R),则m＋n＝________.图X4238．如图X424，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①OA＋2OB；②OA＋OB；③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA＋BA＋OB.其中终点落在阴影区域内的向量的序号是__________(写出满足条件的所有向量的序号)．图X4249．如图X425，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．图X42510．(2016年广西南宁模拟)如图X426，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．图X426第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．B解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD＝(－1,12)．2．B解析：由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件．故选B.3．A解析：由题意知，OP＝OB＋BP.又BP＝2PA，所以OP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB.所以x＝，y＝.4．D解析：∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)．令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，∴即∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．5．B解析：因为D为AB的中点，所以AB＝2AD.因为AF＝xa＋yb，所以AF＝2xAD＋yAC.因为F在线段CD上，所以2x＋y＝1.又x，y>0，所以＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当y＝2x＝时取等号，所以＋的最小值为8.6.解析：选择AB，AD作为平面向量的一组基底，则AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD.又AC＝λAE＋μAF＝AB＋AD，于是解得所以λ＋μ＝.7．3解析：由tanα＝7，得sinα＝，cosα＝.根据向量的分解，易得即解得所以m＋n＝3.8．①③解析：作图，OA＋2OB终点显然落在阴影区域内；OA＋OB终点落在AB上，故OA＋OB终点落在△OAB内；OA＋OB终点落在AB上，故OA＋OB终点落在阴影区域内，OA＋OB终点落在△OAB内；OA＋BA＋OB＝OA－OB，终点显然落在阴影区域外．9．解：如图D110，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种情况：图D110①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，①若是▱ABCD，则由AB＝DC，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)．∴∴∴点D的坐标为(0，－4)(如图D110所示的点D1)．②若是▱ADBC，由CB＝AD，得(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.∴点D的坐标为(2,4)(如图中所示的点D2)．③若是▱ABDC，则由AB＝CD，得(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.∴点D的坐标为(－2,0)(如图D110所示的D3)．∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．10．解：(1)由题意，知A是CB的中点，且OD＝OB，由平行四边形法则，得OB＋OC＝2OA.所以OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)由题意，知EC∥DC，故设EC＝xDC.因为EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，所以(2－λ)a－b＝x.因为a与b不共线，由平面向量基本定量，得解得故λ＝.
