单元综合测试四(第四章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()A．2B．－2C．－D.【答案】A【解析】＝·＝， 为纯虚数，∴，∴a＝2.2．设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0【答案】C【解析】本题考查复数的相关概念．z2能与0比较大小且z2≥0，则z为实数，A正确．由i2＝－1知，B、D正确．C中不妨取z＝1＋i，则z2＝zi不能与0比较大小．3．设复数z满足z＋||＝2＋i，那么z等于()A．－＋iB.－iC．－－iD.＋i【答案】D【解析】解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋|x－yi|＝2＋i，即x＋＋yi＝2＋i，∴，把y＝1代入x＋＝2中，得＋x＝2，∴x＝，∴z＝＋i.解法二：代入法验证答案易得．4．i是虚数单位，复数＝()A．1－iB．－1＋iC．1＋iD．－1－i【答案】C【解析】本题考查复数的乘法与除法．＝＝＝＝1＋i.5．设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝()A．1＋iB．1－iC．2＋2iD．2－2i【答案】B【解析】解法一：设z＝x＋yi，则(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2，故应有，解得.故z＝1－i.1解法二：z＝＝＝1－i.6．复数z＝，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为()A．1B．－1C．iD．－i【答案】B【解析】z2＝()2＝－1，∴ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1.7．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则|z1－z2|等于()A.B.C．1D.【答案】C【解析】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，由已知可得∴2ac＋2bd＝1.|z1－z2|＝＝＝＝1.8．设复数z为虚数，条件甲：z＋是实数，条件乙：|z|＝1，则()A．甲是乙的必要非充分条件B．甲是乙的充分非必要条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件【答案】C【解析】本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z＝a＋bi(b≠0且a，b∈R)，则z＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋为实数，所以b＝.因为b≠0，所以a2＋b2＝1，所以|z|＝1.而当|z|＝1，a2＋b2＝1，条件甲显然成立．9．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D.π＋(k∈Z)【答案】B【解析】当θ＝2kπ－时，sin2θ－1＝sin(4kπ－)－1＝sin(－)－1＝－2≠0.∴A不正确，从而C也不对；当θ＝2kπ＋时，sin2θ－1＝0，cosθ＋1＝×＋1＝2≠0适合题意，即B中答案满足题意，而D中取k＝－1时，θ＝－＋＝－，sin2θ－1＝－2≠0.综上可知选B.10．若|z－1|＝1，则|z－2i－1|的最大值为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】|z－1|＝1表示的是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，2|z－2i－1|即圆上点到(1,2)点的距离，所以最大值为3.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．【答案】1【解析】 z＋1＝＝2＋3i，∴z＝1＋3i.复数z的实部为1.12．在复平面内，复数对应的点的坐标为________．【答案】(－1,1)【解析】＝＝i(1＋i)＝－1＋i.13．设z1、z2是一对共轭复数，|z1－z2|＝2，且为实数，则|z1|＝________.【答案】2【解析】设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，∴|z1－z2|＝2|b|＝2.∴|b|＝.又 为实数，∴＝＝.∴z＝z.∴(a＋bi)3＝(a－bi)3.∴a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3a2bi＋3ab2i2－b3i3.∴3a2b＝b3，∴a2＝1.∴|z1|＝＝2.14．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．【答案】2【解析】本题主要考查复数模的概念及复数的除法运算，解答本题的关键在于正确合理运用复数模的性质． z(2－3i)＝6＋4i，∴z＝，∴|z|＝＝2.15．设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．【答案】【解析】由题意，得sinθ－1＋sinθ－cosθ＋1＝0，∴tanθ＝三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．设是z的共轭复数，若存在复数z满足·z＋2i·＝3＋ai，求实数a的取值范围．【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi代入·z＋2i·＝3＋ai.得x2＋y...
