高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2 最大值、最小值问题课时作业 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

4.2.2最大值、最小值问题一、选择题1．[2014·大连模拟]使函数f(x)＝x＋2cosx在[0，]上取最大值的x为()A.0B.C.D.解析：∵f′(x)＝1－2sinx＝0，x∈[0，]时，sinx＝，x＝，∴当x∈[0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数．当x∈(，]时，f′(x)<0，f(x)是减函数，即x＝，f(x)取最大值．故选B.答案：B2．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.B.C.D.解析：f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝(x＝－舍去)，又f(0)＝0，f(1)＝0，f()＝，则比较得最大值为f()＝.答案：A3．函数y＝x－sinx，x∈[，π]的最大值是()A．π－1B.－1C．πD．π＋1解析：y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在[，π]上为增函数．当x＝π时，ymax＝π.答案：C4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A.－37B.－29C.－5D.以上都不对解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，又∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.故选A.答案：A二、填空题5．若F(x)＝x－2lnx＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是________．解析：令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln2＋2a.答案：2＋2a－2ln26．若关于x的不等式x2＋≥m对任意x∈(－∞，－]恒成立，则m的取值范围是________1__．解析：设y＝x2＋，则y′＝2x－＝.∵x≤－，∴y′<0，即y＝x2＋在(－∞，－]上单调递减．∴当x＝－时，y取得最小值为－.∵x2＋≥m恒成立，∴m≤－.答案：(－∞，－]7．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)，x∈[0,1]的值域为__________．解析：当0≤x≤1时，f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx>0，所以f(x)在[0,1]上单调递增，则f(0)≤f(x)≤f(1)，即函数f(x)的值域为[，e(sin1＋cos1)]．答案：[，e(sin1＋cos1)]三、解答题8．设x>0，求lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3的最小值．解：设f(x)＝lnx＋－(x－1)2＋(x－1)3，则f′(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2＝(x－1)－(x－1)＋2(x－1)2＝(x－1)[－1＋2(x－1)]＝(x－1)[＋2(x－1)]＝(x－1)2(2－)＝(x－1)3.令f′(x)＝0，由x>0，解得x＝1.列表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由题可知，当x＝1时，f(x)有最小值1.9．[2014·山西省阳泉第二调研]已知函数f(x)＝的图像在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝2.(1)求a，b的值；(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x，f(x)<恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(x)＝⇒f′(x)＝，而点(1，f(1))在直线x＋y＝2上⇒f(1)＝1，又直线x＋y＝2的斜率为－1⇒f′(1)＝－1，故有⇒(2)由(1)得f(x)＝(x>0)，f(x)<及x>0⇒0)，故h(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，故当0h(1)＝0，当x>1时，h(x)0，当x>1时，g′(x)<02⇒g(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故g(x)max＝g(1)＝1,要使1，故m的取值范围是(1，＋∞)．3