3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝()A．1B．2C．3D．4【解析】 l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.【答案】B2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内【解析】 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．【答案】D3．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A.B．－C.D．－【解析】AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)，∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为.【答案】A4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴CE＝，AC＝(－1,1,0)，BD＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)． CE·BD＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.【答案】B5．如图329，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()1图329A.B．C.D．【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则A1M＝，DN＝，cos〈A1M，DN〉＝＝0.∴〈A1M，DN〉＝.【答案】D二、填空题6．已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，则点D的坐标为________．【解析】 D∈平面xOz，∴设D(x,0，z)，则AD＝(x，－3，z－5)，BC＝(－1,3,0)． AD∥BC，∴AD＝λBC，∴(x，－3，z－5)＝λ(－1,3,0)，∴即∴点D的坐标为(1,0,5)．【答案】(1,0,5)7．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.【导学号：15460073】【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，∴AM＝，CN＝，∴cos〈AM，CN〉＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】8．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝________.【解析】PA＝(－1，－3,2)，PB＝(6，－1,4)，PC＝(2a－1，a＋1,2)， A，B，C，P四点共面．设PC＝xPA＋yPB，则(2a－1，a＋1,2)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，∴解得a＝16.【答案】16三、解答题29．已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3210所示)，并且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF.求证：图3210(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)AC∥EG；(3)OG＝kOC.【证明】(1)由AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．(2) EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE)＝k(OD－OA)＋km(OB－OA)＝kAD＋kmAB＝k(AD＋mAB)＝kAC，∴AC∥EG.(3)由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO＝k(AC－AO)＝kOC.∴OG＝kOC.10．如图3211所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．图3211(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．【解】如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴|BN|＝＝，∴BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，3∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴BA1·CB1＝3.又 |BA1|＝，|CB1|＝，∴cos〈BA1，CB1〉＝＝.∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.[能力提升]1．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1【解析】依题意，得解得或∴x＋y＝1或－3.【答案】A2．如图3212，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()图3212A．60°B．90°C．105°D．75°【解析】取AC的中点D，建立如图所示的坐标系，设AB＝a，则B，C1，A，B1，∴cos〈AB1，C1B〉＝＝.＝0.∴AB1与C1B所成角为90°.【答案】B3．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点...
