【与名师对话】2016版高考数学一轮复习4.3平面向量的数量积及其应用课时跟踪训练文一、选择题1．已知△ABC为正三角形且边长为4，则AB·BC等于()A．－2B．2C．8D．－8解析：由题意知|AB|＝4，|BC|＝4，且AB与BC的夹角为π－＝，故AB·BC＝|AB||BC|cos＝－×4×4＝－8.故选D.答案：D2．已知点A(2,3)，若把向量OA绕原点O按逆时针方向旋转90°得到向量OB，则点B坐标为()A．(－2,3)B．(－3,2)C．(2,3)D．(3,2)解析：设B(x，y)，依题意有OA⊥OB，|OA|＝|OB|，所以解得或(舍去)，故B点坐标为(－3,2)．故选B.答案：B3．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为()A．12B．8C．－8D．2解析：∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.答案：A4．(2014·福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB．2OMC．3OMD．4OM解析：依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，所以OA＋OC＋OB＋OD＝4OM，故选D.答案：D5．(2014·陕西宝鸡三模)已知平面向量a，b的夹角为120°，且a·b＝－1，则|a－b|的最小值为()A.B.C.D．1解析：由题意可知－1＝a·b＝|a||b|cos120°，所以2＝|a||b|≤，即|a|2＋|b|2≥4，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6，所以|a－b|≥，选A.答案：A6．(2014·河北唐山一模)AD，BE分别是△ABC的中线，若|AD|＝|BE|＝1，且AD与BE的夹角为120°，则AB·AC＝()A.B.C.D.解析：∵|AD|＝|BE|＝1，且AD与BE的夹角为120°，∴AD·BE＝|AD||BE|cos120°＝－.由得∴AB·AC＝(AD－BE)·AD＋BE＝AD2－BE2－AD·BE＝－－×－＝，选D.答案：D二、填空题7．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝__________.1解析：解法一：AE·BD＝AD＋DC·(AD－AB)＝AD2－AD·AB＋DC·AD－AB·DC＝22－×22＝2.解法二：建立如图所示的直角坐标系，则B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，A(0,0)，AE＝(1,2)，BD＝(－2,2)，∴AE·BD＝－2＋2×2＝2.答案：28．(2014·湖北卷)若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝__________.解析：解法一：设OB＝(x，y)，由|OA|＝|OB|知，＝，又OA·OB＝x－3y＝0，所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB|＝2；当x＝－3，y＝－1时，|AB|＝2.则|AB|＝2.解法二：由几何意义知，|AB|就是以OA，OB为邻边的正方形的对角线长，所以|AB|＝2.答案：29．如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝4，∠BAC＝60°，则|OA|＝__________.解析：因为∠BAC＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝4×＝2，又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，即AO2＝(1＋4＋16)＝，所以|OA|＝.答案：三、解答题10．(2014·厦门模拟)已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)，且0<α<π.(1)若|OA＋OC|＝，求OB与OC的夹角；(2)若AC⊥BC，求tanα的值解：(1)因为|OA＋OC|＝，所以(2＋cosα)2＋sin2α＝7，所以cosα＝.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝.又因为∠AOB＝，所以OB与OC的夹角为.(2)AC＝(cosα－2，sinα)，BC＝(cosα，sinα－2)．因为AC⊥BC，所以AC·BC＝0，所以cosα＋sinα＝，①所以(cosα＋sinα)2＝，2所以2sinαcosα＝－.又因为α∈(0，π)，所以α∈，π.因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－.②由①②得cosα＝，sinα＝，所以tanα＝－.11．已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝，n＝，且m与n的夹角为.(1)求角C的值；(2)已知c＝3，△ABC的面积S＝，求a＋b的值．解：(1)∵m·n＝|m||n|cos，|m|＝|n|＝1.∴cos·cos＋sin＝cos，即cosC＝cos，又∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)由c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝9.①由S△ABC＝absinC，得ab＝.②由①②得，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9＋3ab＝25.∵a，b∈R＋，∴a＋b＝5.12．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．(1)若m＝n＝，求|OP|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)∵m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，∴OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，∴|OP|＝＝2.(2)∵OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.3
