【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学2.6矩阵的简单应用章末综合检测苏教版选修4-21.某车间有甲、乙两台机床，可用于生产三种工件，假定全年的产量见下表(单位：件)：工件1工件2工件3甲800600300乙200300600又已知工件1、工件2、工件3的销售价格分别为20元、30元和10元，请给出甲机床、乙机床全年的产值分别是多少？【解】两机床全年产量可用一个2×3矩阵表示，记为P＝，各工件的销售价格向量为Q＝，从而PQ＝＝.故全年中甲机床的产值为37000元，乙机床的产值为19000元.2.四种食品(F1，F2，F3，F4)在三家商店(S1，S2，S3)中，单位量的售价(以某种货币单位计)可用下面的矩阵表示：那么在商店S1购买F2食品9单位，在商店S2购买F3食品3单位，在商店S3购买F4食品5单位，共需多少货币？【解】M＝＝197，即共需197单位货币.3.在密码学中，常用二阶矩阵对信息进行加密，现在我们先将英文字母数字化，a→1，b→2，…，z→26，发送方要传递的信息是come.双方约定的矩阵为，求发送的密码.【导学号：30650062】【解】 c→3，o→15，m→13，e→5，∴由题意可得＝，所以发送的密码为30，66，70，106.4.四个食品店均要进同样的两种货物，这两种货物的单价分别为b1、b2，已知各食品店进货的批量，试用矩阵计算出各食品进货的总价是多少？【解】设A表示四个食品店两种货物的批货量，A＝则这四个食品店进货总价如下：AB＝5.某运动服销售店经销A，B，C，D四种品牌的运动服，其尺寸有S(小号)，M(中号)，L(大号)，XL(特大号)四种，一天内，该店的销售情况如下表所示(单位：件)：品牌型号ABCDS3201M53431L2455XL1011假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元/件，C为30元/件，D为25元/件，求S号的运动服在这天获得的总利润是多少？【解】S号运动服的销售量是，不同品牌的平均利润是，于是＝＝，故S号运动服在这天获得的总利润是115元.6.已知盒子A中装有4只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，2只白色的；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A，B两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，现在要求先取一个盒子，那么从中摸到一只白色小球的概率有多大？【解】不妨设摸到黑色小球的可能性为X，摸到白色小球的可能性为Y，取出一个盒子的概率可以表示为M＝，从两个盒子中摸到一只黑色小球(X)和一只白色小球(Y)的概率可以用矩阵表示为N＝，于是先取一个盒子，再从里面摸到一只黑色小球或白色小球的概率可由矩阵运算得，因此，先取一个盒子，从中摸到一只白色小球的概率为.7.研究某城市的天气变化趋势，得到如下结论：若今天晴，则明天晴的概率为0.8，若今天阴，则明天晴的概率为0.4，如果该地区4月20日清晨天气预报当天晴的概率为0.6.(1)4月21日为晴天的概率是多少？(2)5月1日为晴天的概率是多少？【导学号：30650063】【解】天气变化情况如图所示：天气变化的转移矩阵为M＝，今天天气情况可用向量β＝表示.第n天与第n＋1天的天气关系可表示为(1)4月21日的天气情况为2Mβ＝＝，即4月21日为晴天的概率是0.64.(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－1.4λ＋0.4，由f(λ)＝0解得λ1＝0.4，λ2＝1.当λ1＝0.4时，代入特征方程解出特征向量α1＝；当λ2＝1时，代入特征方程解出特征向量α2＝；由β＝mα1＋nα2，即＝m＋n，解得M11β＝－×(0.4)11×＋×111×＝≈，即5月1日为晴天的概率约为.能力提升]8.工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题.某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型.设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，P1和D1分别是5年以后的污染程度和工业发展水平.在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：P1＝P＋2D，D1＝2P＋D.(1)设P2和D2分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求P2、D2与P、D的关系式；(2)某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为Pn和Dn，试求Pn、Dn，并说明污染程度和工业发展的趋势.【解】(1) P1＝P＋2D，D1＝2P＋D，∴＝.设A＝，∴＝A＝A2＝＝.∴P2＝5P＋4D，D2＝4P＋5D.(2)＝An＝An，矩阵A的特征值为λ1＝3，λ2＝－1，...
